Bonjour ;
Pourriez vous m'aider dans mon exercice de probabilité que je dois rendre à la rentrée je suis complètement perdu ;
Sur les 3 premières questions, je pense avoir trouvé ...
Un DS de maths contient un QCM de 5 questions ayant chacune 3 réponses proposées et parmi lesquelles une seule est correcte
Une bonne réponse rapporte 1 point et une erreur retire 0,5 pt ; pourtant comme à chaque devoir Regis décide de répondre au hasard
on note d'abord X le nombre de bonnes réponses obtenus par Régis
déterminer la loi de proba de X
Déterminer la proba que Régis admette au moins une bonne réponse
déterminer la proba que Régis admette exactement 3 bonnes réponses
régis est très jouer et après avoir répondu au questionnaire, il aime regarder le mot fourni de ses réponses . Quelle est la proba que le mot réponse soit un palindrome (ie le mot se lit indifféremment de droite à gauche , exemple BACAB ) justifiez votre réponse
On note désormais Y la note obtenue par Régis (la note est ramenée à 0 si le total est négatif )
quelle est la loi de proba de Y
Quelle est la proba que Régis ait au moins la moyenne à cet exercice
Déterminer E(Y) , et interpréter le résultat
au cours de l'année , Régis effectuera n devoirs de maths comportant ce type de QCM
exprimer en fonction de n , la proba pn qu'il ait au moins une fois la moyenne (ou plus) sur ces n devoirs
au bout de combien devoirs dans l'année a t-on pn supérieure ou égal à 0,75
Quelle est la moralité de cet exercice
proba
Re: proba
Bonsoir
A. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\frac{1}{3}$
$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-(\frac{2}{3})^5=1-\frac{32}{243}=\frac{211}{243}$
$P(X=3)={5\choose 3}\times (\frac{1}{3})^3\times (\frac{2}{3})^2=10\times \frac{1}{27}\times \frac{4}{9}=\frac{40}{243}$
Pour que la réponse soit un palindrome, la troisième réponse n'a pas d'importance, la quatrième doit être la même que la seconde et la cinquième la même que la première donc le palindrome est déterminé par les 3 premières réponses soit $3^3$ = 27 palindromes.
Le nombre total de cas est $3^5 =243$ donc la probabilité d'avoir un palindrome est $\frac{27}{243}=\frac{1}{9}$
B.
Valeurs prises par Y et leurs probabilités :
5 bonnes réponses : $Y=5$ ; probabilité : $(\frac{1}{3})^5=\frac{1}{243}$
4 bonnes réponses : $Y=3,5$ ; probabilité : $P(X=4)={5\choose 4}\times (\frac{1}{3})^4\times (\frac{2}{3})^1=\frac{10}{243}$
3 bonnes réponses : $Y=2$ ; probabilité : $P(X=3)=\frac{40}{243}$
2 bonnes réponses : $Y=0,5$ ; probabilité : $P(X=2){5\choose 2}\times (\frac{1}{3})^2\times (\frac{2}{3})^3=\frac{80}{243}$
Pour une ou zéro bonne réponse $Y=0$ ; probabilité : $P(X=0)+P(X=1)=\frac{32+80}{243}=\frac{112}{243}$
La probabilité d'avoir au moins la moyenne est égale à $P(Y=5)+P(Y=4)=\frac{11}{243}$
$E(Y)=5\times \frac{1}{243}+3,5\times \frac{10}{243}+2\times \frac{40}{243}+0,5\times \frac{80}{243}$
C. On a à nouveau une loi binomiale avec $p=\frac{11}{243}$ probabilité d'avoir la moyenne
$p_n=1-(1-\frac{11}{243})^n=1-(\frac{232}{243})^n$
$p_n\geq 0,75$ équivaut à $(\frac{232}{243})^n\leq 0,25$
En première, il faut procéder par tatonnements avec la calculatrice pour trouver $n$ (sinon il faut utiliser la fonction $ln$.)
J'ai trouvé $n=30$
A. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\frac{1}{3}$
$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-(\frac{2}{3})^5=1-\frac{32}{243}=\frac{211}{243}$
$P(X=3)={5\choose 3}\times (\frac{1}{3})^3\times (\frac{2}{3})^2=10\times \frac{1}{27}\times \frac{4}{9}=\frac{40}{243}$
Pour que la réponse soit un palindrome, la troisième réponse n'a pas d'importance, la quatrième doit être la même que la seconde et la cinquième la même que la première donc le palindrome est déterminé par les 3 premières réponses soit $3^3$ = 27 palindromes.
Le nombre total de cas est $3^5 =243$ donc la probabilité d'avoir un palindrome est $\frac{27}{243}=\frac{1}{9}$
B.
Valeurs prises par Y et leurs probabilités :
5 bonnes réponses : $Y=5$ ; probabilité : $(\frac{1}{3})^5=\frac{1}{243}$
4 bonnes réponses : $Y=3,5$ ; probabilité : $P(X=4)={5\choose 4}\times (\frac{1}{3})^4\times (\frac{2}{3})^1=\frac{10}{243}$
3 bonnes réponses : $Y=2$ ; probabilité : $P(X=3)=\frac{40}{243}$
2 bonnes réponses : $Y=0,5$ ; probabilité : $P(X=2){5\choose 2}\times (\frac{1}{3})^2\times (\frac{2}{3})^3=\frac{80}{243}$
Pour une ou zéro bonne réponse $Y=0$ ; probabilité : $P(X=0)+P(X=1)=\frac{32+80}{243}=\frac{112}{243}$
La probabilité d'avoir au moins la moyenne est égale à $P(Y=5)+P(Y=4)=\frac{11}{243}$
$E(Y)=5\times \frac{1}{243}+3,5\times \frac{10}{243}+2\times \frac{40}{243}+0,5\times \frac{80}{243}$
C. On a à nouveau une loi binomiale avec $p=\frac{11}{243}$ probabilité d'avoir la moyenne
$p_n=1-(1-\frac{11}{243})^n=1-(\frac{232}{243})^n$
$p_n\geq 0,75$ équivaut à $(\frac{232}{243})^n\leq 0,25$
En première, il faut procéder par tatonnements avec la calculatrice pour trouver $n$ (sinon il faut utiliser la fonction $ln$.)
J'ai trouvé $n=30$