Bonjour, je voudrais de l'aide pour cet exercice
Pour tout réel m, soit (Dm) la droite d'équation cartésienne (1 - m²)x + 2my - 4(m+2)=0
Montrer qu'il existe un point A dont la distance à (Dm) ne dépend pas de m
équation cartésienne
Re: équation cartésienne
Bonsoir
La distance d'un point de coordonnées $(x_0,y_0)$ à une droite $(D)$ d'équation $ax+by+c=0$ est égale à $\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Dans le cas de la droite $(D_m)$ on a $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+m^4-2m^2+4m^2}=\sqrt{m^4+2m^2+1}=m^2+1$
Pour $m=1$ la distance est égale à $\frac{|2y_0-12|}{2}=|y_0-6|$
Pour $m=-1$ la distance est égale à $\frac{|-2y_0-4|}{2}=|y_0+2|$
Pour avoir une distance qui ne dépende pas de $m$ on doit donc avoir $|y_0-6|=|y_0+2|$ soit $y_0-6=-y_0-2$ donc $y_0=2$
Pour $m=0$ la distance est égale à $|x_0-8|$. On doit donc avoir $|x_0-8|=|y_0+2|=4$ ce qui conduit à $x_0=12$ ou $x_0=4$
On a donc 2 points de coordonnées (12 , 2) et (4 , 2). Il faut savoir si ces points répondent bien à la question c'est-à-dire que la distance de chacun de ces points à la droite $(D_m)$ ne dépend pas de $m$.
Pour le point (4,2) la distance à $(D_m)$ est égale à $\frac{|(1-m^2)4+4m-4m-8|}{m^2+1}=\frac{|4(-m^2-1)|}{m^2+1}=4$
Donc le point (4,2) répond à la question.
Par contre pour $(x_0,y_0)=(12,2)$, $m$ ne s'élimine pas dans le calcul de la distance donc il ne convient pas.
La seule solution est le point de coordonnées (4,2)
La distance d'un point de coordonnées $(x_0,y_0)$ à une droite $(D)$ d'équation $ax+by+c=0$ est égale à $\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Dans le cas de la droite $(D_m)$ on a $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+m^4-2m^2+4m^2}=\sqrt{m^4+2m^2+1}=m^2+1$
Pour $m=1$ la distance est égale à $\frac{|2y_0-12|}{2}=|y_0-6|$
Pour $m=-1$ la distance est égale à $\frac{|-2y_0-4|}{2}=|y_0+2|$
Pour avoir une distance qui ne dépende pas de $m$ on doit donc avoir $|y_0-6|=|y_0+2|$ soit $y_0-6=-y_0-2$ donc $y_0=2$
Pour $m=0$ la distance est égale à $|x_0-8|$. On doit donc avoir $|x_0-8|=|y_0+2|=4$ ce qui conduit à $x_0=12$ ou $x_0=4$
On a donc 2 points de coordonnées (12 , 2) et (4 , 2). Il faut savoir si ces points répondent bien à la question c'est-à-dire que la distance de chacun de ces points à la droite $(D_m)$ ne dépend pas de $m$.
Pour le point (4,2) la distance à $(D_m)$ est égale à $\frac{|(1-m^2)4+4m-4m-8|}{m^2+1}=\frac{|4(-m^2-1)|}{m^2+1}=4$
Donc le point (4,2) répond à la question.
Par contre pour $(x_0,y_0)=(12,2)$, $m$ ne s'élimine pas dans le calcul de la distance donc il ne convient pas.
La seule solution est le point de coordonnées (4,2)