Bonjour,
Élève de première générale, je reste bloqué sur un exercice vu en spécialité maths.
Cela concerne le chapitre lié aux vecteurs:
Soit ABCD un rectangle, avec AB = a et BC = b. Soit O le centre du rectangle et M un point du plan:
Montrer que MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 4OM^2 + a^2 + b^2
Cela paraît pourtant simple mais je n’arrive pas à trouver de lien entre les deux expressions.
Merci d’avance pour votre aide !
Vecteurs et rectangle (1re spé maths)
Re: Vecteurs et rectangle (1re spé maths)
Bonjour
$\overrightarrow {MA}^2 =(\overrightarrow{M0} +\overrightarrow{OA})^2 = \overrightarrow{MO}^2 +\overrightarrow{OA}^2 +2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}$
On écrit la même relation avec $\overrightarrow{MB}^2 , \overrightarrow{MC}^2 $ et $\overrightarrow{MD}^2$
On a alors :
$MA^2+MB^2 +MC^2 +MD^2=4MO^2 +OA^2+OB^2+OC^2 +OD^2 +2\overrightarrow{MO}\cdot (
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD})$
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{0}$
$OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=4OA^2 = 4 (\frac{AC}{2})^2=AC^2=AB^2+BD^2 =a^2+b^2$
$\overrightarrow {MA}^2 =(\overrightarrow{M0} +\overrightarrow{OA})^2 = \overrightarrow{MO}^2 +\overrightarrow{OA}^2 +2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}$
On écrit la même relation avec $\overrightarrow{MB}^2 , \overrightarrow{MC}^2 $ et $\overrightarrow{MD}^2$
On a alors :
$MA^2+MB^2 +MC^2 +MD^2=4MO^2 +OA^2+OB^2+OC^2 +OD^2 +2\overrightarrow{MO}\cdot (
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD})$
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{0}$
$OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=4OA^2 = 4 (\frac{AC}{2})^2=AC^2=AB^2+BD^2 =a^2+b^2$