Bonjour
J'ai un problème, je ne parviens pas à ouvrir le fichier. Peux-tu recopier le début de l'exercice ou faire une photo.
polynome
Re: polynome
Bonjour, voici l'exercice
1°/ Vérifier que 1-$x^{n}$=(1-x)(1+x+$x^{2}$+⋯+$x^{n-2}$+$x^{n-1}$ )
2°/ Montrer que le polynôme n$x^{n+1}$−(n+1)$x^{n+1}$+1 (où n ∈ℕ) est factorisable par $(x-1)^{2}$
3°/ Soit p(x) et q(x) deux polynômes tels que q(x)=p(x)+1
a) Démontrer que $[p(x)]^{2n}$+$[q(x)]^{n}$-1 est factorisable par p(x).q(x)
a) En déduire que $(x-2)^{2n}$+$(x-1)^{n}$-1 est factorisable par (x-2).(x-1)
4°/ Démontrer que p(x)= $(x+1)^{2n}$+$x^{2n}$-2x-1 est factorisable par q(x)=x(x+1).(2x+1)
Expliciter r(x)tel que p(x)=q(x).r(x)
1°/ Vérifier que 1-$x^{n}$=(1-x)(1+x+$x^{2}$+⋯+$x^{n-2}$+$x^{n-1}$ )
2°/ Montrer que le polynôme n$x^{n+1}$−(n+1)$x^{n+1}$+1 (où n ∈ℕ) est factorisable par $(x-1)^{2}$
3°/ Soit p(x) et q(x) deux polynômes tels que q(x)=p(x)+1
a) Démontrer que $[p(x)]^{2n}$+$[q(x)]^{n}$-1 est factorisable par p(x).q(x)
a) En déduire que $(x-2)^{2n}$+$(x-1)^{n}$-1 est factorisable par (x-2).(x-1)
4°/ Démontrer que p(x)= $(x+1)^{2n}$+$x^{2n}$-2x-1 est factorisable par q(x)=x(x+1).(2x+1)
Expliciter r(x)tel que p(x)=q(x).r(x)
Re: polynome
Bonjour
Question 3.a)
$(p(x))^{2n}+(p(x)+1)^n-1=(p(x))^{2n}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}(p(x))^k1^{n-k}-1=(p(x))^{2n}+1+\sum_{k=1}^n{n\choose k}(p(x))^k-1$
donc factorisable par $p(x)$
$(q(x)-1)^{2n}+(q(x))^n-1=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}(q(x))^k(-1)^{2n-k}+(q(x))^n-1\\=(-1)^{2n}+\sum_{k=1}^{2n}{2n\choose k}(q(x))^k(-1)^{2n-k}+(q(x))^n-1$
Les "1" s'éliminent donc c'est factorisable par $q(x))$
$p(x)$ et $q(x)$ sont premiers entre eux donc l'expression est factorisable par le produit $p(x)q(x)$.
Question 3.a)
$(p(x))^{2n}+(p(x)+1)^n-1=(p(x))^{2n}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}(p(x))^k1^{n-k}-1=(p(x))^{2n}+1+\sum_{k=1}^n{n\choose k}(p(x))^k-1$
donc factorisable par $p(x)$
$(q(x)-1)^{2n}+(q(x))^n-1=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}(q(x))^k(-1)^{2n-k}+(q(x))^n-1\\=(-1)^{2n}+\sum_{k=1}^{2n}{2n\choose k}(q(x))^k(-1)^{2n-k}+(q(x))^n-1$
Les "1" s'éliminent donc c'est factorisable par $q(x))$
$p(x)$ et $q(x)$ sont premiers entre eux donc l'expression est factorisable par le produit $p(x)q(x)$.