Grain de Riz

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Marc32
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Grain de Riz

Message par Marc32 » 25 janvier 2022, 13:30

Salut Job ,j'essai de faire cet exo qui a l'air plutôt sympa:

https://ibb.co/VD0fKQP

Voici mes réponses:

1) Sur la première case il n'y a qu'un seul grain de riz, donc U1 = 1, U2= 2 , U3=4 ;U4= 8 ; U5 = 16

2) les termes augmentent de +1 ; +2 ; +4
Par conjecture (ou nous pouvons conjecturer) que Un+1 = 2Un.

3)Cette suite est donc géométrique, et de raison q= 2, elle est croissante.
4) On cherche n tel que Un+1 = 64 , ce qui implique que 2 Un = 64
Un= 64/2 = 32 mais bon à part avancer à "tatôn" ça m'avance pas trop ... ^^

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Job
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Re: Grain de Riz

Message par Job » 25 janvier 2022, 15:54

Bonjour Marc

La suite est géométrique de raison 2. Ce n'est pas une conjecture, c'est la définition de la suite qui est donnée dans le texte.

À savoir absolument sur les suites géométriques :
- si le premier terme est $u_1$ alors, pour tout $n$ , $u_n=u_1\times q^{n-1}$
- si le premier terme est $u_0$ alors, pour tout $n$ , $u_n=u_0\times q^n$

Cela se démontre par récurrence

Si on a un doute, on vérifie sur les premiers termes)

Donc ici : sur la soixante - quatrième case $u_{64} =u_1\times 2^{63}=1\times 2^{63}$

À savoir également, si le premier terme de la suite est $u_1$ la somme des $n$ premiers termes de la suite est égale à :$\displaystyle S_n =u_1\times \frac{q^n-1}{q-1}$

Ici, d'après le texte, c'est ce qui est demandé, on veut le nombre total de grains de riz sur les 64 cases de l'échiquier

$\displaystyle S_{64} =1\times \frac{2^{64}-1}{2-1} =2^{64}-1$

(C'est un exercice classique qui se continue souvent en calculant le poids puis le nombre de bateaux nécessaires aux transport)

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