Bonjour Job, désolé pour le retard dans mes réponses j'avais des invités chez moi.
Concernant ton exo que tu proposait dans mon dernier message " j'ai fais le schéma ci-dessous ou on voit que les points C' et A' sont confondus.
https://ibb.co/L5mvk9k
Ensuite AC.DB (vecteurs) = A'C.DB (vec) = 1/2 DC. DC , car A' est le projeté de A.
Mais comme nous sommes dans un rectangle avec 4 angles droit D est le projeté orthogonal de A sur ma droite DC et B est... de C sur la droite DC.
Donc AC.DB (vec) = DC.DC = DC² , bizarre deux résultats différents.
BD égale racine (34) = 5.83
Même avec tes indications ça reste chaud
Proposition de corrigé pour l'exo.produit scalaire
Re: Proposition de corrigé pour l'exo.produit scalaire
Bonjour Marc
Non les points $A'$ et $C'$ ne sont pas confondus. Ils ne le sont que si $ABCD$ est un carré et "on voit que" n'est pas un raisonnement. Voir ce que je dis en message privé.
$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow{DB} = (\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{AB})$
$=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}$
$=0 +25 -9+0=16$
(0 quand les vecteurs sont orthogonaux et $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CB)}=-\overrightarrow{BC}^2$)
D'autre part, $A'$ et $C'$ étant les projetés orthogonaux de $A$ et $C$ sur $(BD)$, $\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow{DB}=\overrightarrow {A'C'}\cdot \overrightarrow{DB}=A'C'\times BD$ car $\overrightarrow {A'C'}$ et $\overrightarrow {BD}$ sont colinéaires et de même sens.
Par le théorème de Pythagore $BD^2 =AB^2+AD^2=25 +9=34$ donc $BD =\sqrt{34}$
On a donc $A'C'\times \sqrt{34} =16$ soit $A'C'=\frac{16}{\sqrt{34}}$
Non les points $A'$ et $C'$ ne sont pas confondus. Ils ne le sont que si $ABCD$ est un carré et "on voit que" n'est pas un raisonnement. Voir ce que je dis en message privé.
$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow{DB} = (\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{AB})$
$=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}$
$=0 +25 -9+0=16$
(0 quand les vecteurs sont orthogonaux et $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CB)}=-\overrightarrow{BC}^2$)
D'autre part, $A'$ et $C'$ étant les projetés orthogonaux de $A$ et $C$ sur $(BD)$, $\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow{DB}=\overrightarrow {A'C'}\cdot \overrightarrow{DB}=A'C'\times BD$ car $\overrightarrow {A'C'}$ et $\overrightarrow {BD}$ sont colinéaires et de même sens.
Par le théorème de Pythagore $BD^2 =AB^2+AD^2=25 +9=34$ donc $BD =\sqrt{34}$
On a donc $A'C'\times \sqrt{34} =16$ soit $A'C'=\frac{16}{\sqrt{34}}$