barycentre

Aide au niveau première.
syne1
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barycentre

Message par syne1 » 12 janvier 2022, 14:00

Bonjour job je voudrais de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE.

Soient A, B et C trois points non alignés du plan.
1) Justifier que les systèmes $\left\{(A,3),(B,-2),(C,1)\right\}$ et $\left\{(A,3),(B,-2),(C,3),(C,-2)\right\}$ admettent un barycentre et qu’il s’agit du même barycentre que l’on notera G
2) On note $I$ le milieu de $[AC]$ et $J$ celui de $[BC]$. Montrer que $G$ est le barycentre de $(I,3)\ et \ (J,-2)$
3) On note $K$ le milieu de $[AI]$.Montrer que les droites $(BK)$ et $(IJ)$ se coupent en $G$.
4) Montrer que le quadrilatère $ABIG$ est un parallélogramme

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Job
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Re: barycentre

Message par Job » 12 janvier 2022, 15:44

Bonjour Syne 1

1) associativité du barycentre.

2) On associe $(A,3)$ et $(C,3)$ Il s'agit de l'isobarycentre de $A$ et $C$ donc $I$

On associe $(B,-2)$ et $(C,-2)$. Il s'agit de lisobarycentre de $B$ et $C$ donc $J$.

$G$ est donc le barycentre de $(I,6), (J,-4)$ soit encore en simplifiant les coefficients par 2 de $(I,3) , (J,-2)$

3) $\overrightarrow {KA}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{KC}$ donc $K$ est le barycentre de $(A,3) , (C,1)$

Donc $G$ est le barycentre de $(K,4),(B,-2)$

$G$ appartient donc à la droite $(KB)$.
Et d'après la question 2, $G$ appartient à la droite $(IJ)$

4) $4\overrightarrow{GK}-2\overrightarrow{GB} =\overrightarrow {0}$ soit $\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GK}$ donc $K$ est le milieu de $[GB]$

$[GB]$ et $[AI]$ ont même milieu $K$ donc $ABIG$ est un parallélogramme.

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