polynome

Aide au niveau première.
syne1
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Message par syne1 » 25 décembre 2021, 08:44

Bonjour job, je voudrais de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE.
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Job
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Re: polynome

Message par Job » 27 décembre 2021, 16:56

Bonjour syne 1

C'est un exercice sur les relations entre coefficients et racines.
$\alpha +\beta +\gamma =-a$
$\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =b$
$\alpha \beta \gamma =-c$

On en déduit :
$\alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 = (\alpha +\beta +\gamma)^2-2(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma)=a^2-2b$
$\alpha^2 \beta^2 +\alpha^2\gamma^2+\beta^2 \gamma^2 = b^2-2ac$
$\alpha^2\beta^2\gamma^2 =c^2$

Donc $Q(x)=x^3 -(a^2-2b)x^2 +(b^2-2ac)x-c^2$

2) a) $Q(x^2)=(x^2-\alpha^2) (x^2-\beta^2)(x^2-\gamma^2)$
$Q(x^2) =(x-\alpha)(x+\alpha) (x-\beta)(x+\beta) (x-\gamma)(x+\gamma) =P(x) \times R(x)$
Avec $R(x) =(x+\alpha)(x+\beta)(x+\gamma)$

b) Les racines de $R(X)$ sont $(-\alpha), (-\beta), (-\gamma)$
En utilisant les relations du début on en déduit que $R(x)=x^3-ax^2+bx-c$

c) $P(x)\times R(x) =(x^3+ax^2+bx+c)(x^3-ax^2+bx-c)=(x^3+bx)^2-(ax^2+c)^2$
$=x^2(x^2+b)^2 -(ax^2+c)^2=Q(x^2)$

On a donc $Q(x)=x(x+b)^2-(ax+c)^2$
En développant, on retrouve le résultat de la question 1)

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