Bonjour , pouvez vous m'aider pour la question 2°/ .J'ai essayé par récurrence mais j'arrive pas à la montrer
On définit la suite a par :
a0 = a1=1 an+2=[(an+1)²+2)]/an (a indice n+2 = [(a indice n+1)² +2] sur (a indice n)
1°/ Calculer les cinq premiers termes de cette suite.
2°/ Démontrer qu’en fait an+2=4an+1-an (a indice n+2 = 4 × a indice n+1 moins a indice n)
suites
Re: suites
Bonsoir
Initialisation : $a_2=4a_1-a_0$
Hérédité : on suppose l'égalité vérifiée jusqu'au rang $n+2$ donc $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$.
$a_{n+3} =\frac{a_{n+2}^2+2}{a_{n+1}}$ soit encore $a_{n+3}a_{n+1} =a_{n+2}^2+2$
En utilisant l'hypothèse de récurrence on a :
$a_{n+3}a_{n+1} =a_{n+2}(4a_{n+1} -a_n)+2=4a_{n+2}a_{n+1} -a_{n+2}a_n+2 \\ =4a_{n+2}a_{n+1}-(a_{n+1}^2+2)-2=a_{n+1}(4a_{n+2}-a_{n+1})$
Comme tous les termes de la suite sont non nuls, en simplifiant par $a_{n+1}$, on obtient $a_{n+3}=4a_{n+2} -a_{n+1}$ ce qui vérifie l'égalité au rang $(n+3)$
Initialisation : $a_2=4a_1-a_0$
Hérédité : on suppose l'égalité vérifiée jusqu'au rang $n+2$ donc $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$.
$a_{n+3} =\frac{a_{n+2}^2+2}{a_{n+1}}$ soit encore $a_{n+3}a_{n+1} =a_{n+2}^2+2$
En utilisant l'hypothèse de récurrence on a :
$a_{n+3}a_{n+1} =a_{n+2}(4a_{n+1} -a_n)+2=4a_{n+2}a_{n+1} -a_{n+2}a_n+2 \\ =4a_{n+2}a_{n+1}-(a_{n+1}^2+2)-2=a_{n+1}(4a_{n+2}-a_{n+1})$
Comme tous les termes de la suite sont non nuls, en simplifiant par $a_{n+1}$, on obtient $a_{n+3}=4a_{n+2} -a_{n+1}$ ce qui vérifie l'égalité au rang $(n+3)$