Bonsoir.
Comment feriez-vous pour montrer que pour tous réels u, v : |u| + |v| ≤ |u+v| + |u−v|.
Merci
Inégalité avec valeur absolue
-
- Membre
- Messages : 1
- Inscription : 07 novembre 2021, 20:14
Re: Inégalité avec valeur absolue
Bonjour
$u=\frac{1}{2} [(u+v)+(u-v)]$ donc $|u| =\frac{1}{2} |(u+v)+(u-v)|$
La valeur absolue d'une somme est inférieure à la somme des valeurs absolues donc
$|u|\leq \frac{1}{2}\left(|u+v|+|u-v|\right)$ (A)
$v=\frac{1}{2} [(u+v)+(v-u)$ donc $|v|=\frac{1}{2}|(u+v)+(v-u)|$
$|v|\leq \frac{1}{2}\left(|u+v|+|v-u|\right)=\frac{1}{2}\left( |u+v| +|u-v|\right)$ (B)
car 2 nombres opposés ont même valeur absolue.
En additionnant membre à membre les inégalités (A) et (B) on obtient :
$|u|+|v| \leq |u+v|+|u-v|$
$u=\frac{1}{2} [(u+v)+(u-v)]$ donc $|u| =\frac{1}{2} |(u+v)+(u-v)|$
La valeur absolue d'une somme est inférieure à la somme des valeurs absolues donc
$|u|\leq \frac{1}{2}\left(|u+v|+|u-v|\right)$ (A)
$v=\frac{1}{2} [(u+v)+(v-u)$ donc $|v|=\frac{1}{2}|(u+v)+(v-u)|$
$|v|\leq \frac{1}{2}\left(|u+v|+|v-u|\right)=\frac{1}{2}\left( |u+v| +|u-v|\right)$ (B)
car 2 nombres opposés ont même valeur absolue.
En additionnant membre à membre les inégalités (A) et (B) on obtient :
$|u|+|v| \leq |u+v|+|u-v|$