Bonjour à tous
j'espère que tout le monde va bien ?
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice sur le produit scalaire et si possible une explication
(l'exercice est en pièce jointe)
Je vous remercie d'avance
Produit scalaire
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Produit scalaire
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Re: Produit scalaire
Bonjour
1. $\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AM}\cdot (\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC})=\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AC}$
La somme proposée est donc égale à
$\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AC}+\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB} $
$=-\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {CA}+\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB} $
$=(-\overrightarrow {AM}+\overrightarrow{CM})\cdot \overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AM} +\overrightarrow{BM})\cdot \overrightarrow{CA}$
$=(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA})\cdot \overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA})\cdot \overrightarrow{CA}$
$=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}$
$=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}=0$
2. Si $H$ est le point de concours des hauteurs issues de $A$ et de $B$ alors $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ et $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA}=0$
Alors en utilisant la relation précédente avec $M=H$, on déduit que $\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ donc la droite $(CH)$ est perpendiculaire à $(AB)$ donc $H$ appartient à la troisième hauteur.
1. $\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AM}\cdot (\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC})=\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AC}$
La somme proposée est donc égale à
$\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AC}+\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB} $
$=-\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {CA}+\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB} $
$=(-\overrightarrow {AM}+\overrightarrow{CM})\cdot \overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AM} +\overrightarrow{BM})\cdot \overrightarrow{CA}$
$=(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA})\cdot \overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA})\cdot \overrightarrow{CA}$
$=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}$
$=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}=0$
2. Si $H$ est le point de concours des hauteurs issues de $A$ et de $B$ alors $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ et $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA}=0$
Alors en utilisant la relation précédente avec $M=H$, on déduit que $\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ donc la droite $(CH)$ est perpendiculaire à $(AB)$ donc $H$ appartient à la troisième hauteur.
Re: Produit scalaire
Deuxième exercice
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CI})=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BC}^2+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CI}$
En utilisant l'orthogonalité $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ et $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CI}=0$
$\overrightarrow{AB}$ et ${CI}$ sont colinéaires et de sens contraire donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CI} =-a\times \frac{a}{2}=-\frac{a^2}{2}$
$\overrightarrow{BC}^2=BC^2=AD^2=\frac{1}{2} a^2$
Donc $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BI}=0$ et par conséquent les droites $(AC)$ et $(BI)$ sont perpendiculaires.
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CI})=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BC}^2+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CI}$
En utilisant l'orthogonalité $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ et $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CI}=0$
$\overrightarrow{AB}$ et ${CI}$ sont colinéaires et de sens contraire donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CI} =-a\times \frac{a}{2}=-\frac{a^2}{2}$
$\overrightarrow{BC}^2=BC^2=AD^2=\frac{1}{2} a^2$
Donc $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BI}=0$ et par conséquent les droites $(AC)$ et $(BI)$ sont perpendiculaires.
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Re: Produit scalaire
Job je vous remercie mais pourquoi vous avez mis deuxième exercice ?
Je vous dois tous mon respect : )
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Re: Produit scalaire
Vous voulez dire deuxième question?