Fonction homographique et droite paramétrée

[Shareman]

Bonjour !

Un petite étude sur les particularités de la fonction homographique.

1°) La courbe représentative des variations de la fonction:
$\quad y=\dfrac{ax+b}{a'x+b'}$
admet comme asymptotes les droites $x=-2$ et $y=+3$.
- Quelles relations existe entre les coefficients $a,\,b,\,a',\,b'$ ?
2°) Soit C le courbe représentative des variations de la fonction:
$\quad y =\dfrac{3x+\lambda}{x+2}$
- Déterminer le paramètre $\lambda$ pour que la courbe C coupe l'axe des ordonnées au point $y=-1$.
3°) On considère la droite D d'équation:
$\quad y=3+m(x+2)$ou $x$ est la variable et $m$ un paramètre.
3.a) Montrer que $\forall m \in R$ la droite $D$ passe par un point $M$ dont les coordonnées sont indépendantes de $m$.
3.b) Pour quelle valeurs de $m$ l'ensemble $D\cap C$ n'est il pas un ensemble vide ?
___________________________________________________________

1°) Rappel du cours, les droites d'équations :
$\quad x=\dfrac{-b'}{a'}\,$ et $\,y=\dfrac{a}{a'}\,$ sont des asymptotes pour la courbe représentative de la fonction.
$\quad x=\dfrac{-b'}{a'}=-2\,$ comme asymptote verticale à la courbe,
$\quad y=\dfrac{a}{a'}=+3\,$ comme asymptote horizontale à la courbe.
$\quad$On trouve une relation entre les coefficients :
$\quad\dfrac{-b'}{a'}+\dfrac{a}{a'}=-2+3\iff a=a'+b',$ la seule relation ?

2°) La valeur de $\lambda$ pour que la courbe $C$ passe par le point $(\,0;\,-1\,)$ vérifie :
$\quad\dfrac{3\times 0+\lambda}{0+2}=-1\iff\lambda=-2.$

3.a) Le point $M$ de $D$ dont les coordonnées sont indépendantes de $m$ est celui qui vérifie :
$\quad\left\{
\begin{array}{l}
y=3 \\
x+2=0
\end{array}
\right.\iff x=-2;\,y=3.$
3.b) Les valeurs de $m$ qui vérifie l'ensemble $D\cap C$ sont celles des points communs à la droite $D$ et à la courbe $C$ :
$\quad x\ne -2$ et $\lambda=-2;\ m(x+2)+3=\dfrac{3x-2}{x+2}\iff m(x+2)^2+3(x+2)=3x-2,$
$\quad$et après développement il vient : $mx^2+4mx+4m+8=0.$
$\quad$Les valeurs de $m$ qui garantissent des solutions à cette équation :
$\quad\Delta\ge 0\iff 16m^2-4m(4m+8)=-32m\ge 0\iff m< 0,$
$\quad$puisque pour $m=0$ l'équation est impossible ?

Merci pour la vérification.

[Job]

Bonjour

Pour la question 1) il faut conserver les 2 relations $b'=2a'$ et $a=3a'$ car si ces relations impliquent bien $a=a'+b'$ la réciproque n'est pas vraie : À partir de cette seule relation, on ne peut pas retrouver les 2 relations précédentes.

Pour le reste, pas de problème.

[Shareman]

Merci pour la réponse.

Pour le reste, pas de problème.

A la fin de l'exercice, pour $m=0$ (point fixe), j'ai bien interprété le résultat ?

[Job]

Bonjour

Il vaudrait mieux dire "l'équation n'a pas de solution".
On peut dire aussi que pour $m=0$, la droite est l'asymptote parallèle à l'axe des ordonnées de l'hyperbole et ne rencontre donc pas l'hyperbole.