Bonsoir,
J'ai un dm de maths auquel je n'arrive pas du tout et j'espère que vous pourriez m aider :
Exercice 1 :
Un ethnologue s'est intéressé à la construction des trois dans plusieurs tribus nord-amérindiennes des grandes Plaines. Il a remarqué que le diamètre est pratiquement toujours égal à 6,50 m et que la hauteur s'élève en général à 4,50 m.
Cet exercice a pour but de montrer que ce choix n'est pas le fruit du hasard.
On assimile ce tipi à un cône parfait.
Supposons que les Indiens cherchent à construire un tipi d'un volume de 50 cm^3.
On note r le rayon du tipi et h sa hauteur.
1) Montrer que r^2 = 150/pi×h
2) On note S la fonction définie sur ]1 ; 10[ qui à h associe le carré de l'aire en m^2 de peau de bison necessaure ppur recouvrir la surface latérale du tipi.
Montrer que : S(h) = 150 pi (150/pi × 1/h^2 + h).
3) Déterminer S'(h).
4) Soit h0(en indice)^3.
Montrer que si h appartient à [h0 ; 10] alors S'(h) >/= 0.
On peut monter de même que si h appartient à [1 ; h0] alors S'(h) </=0.
5) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de h0 à 0.01 près.
6) Expliquer alors pourquoi les tipis ont presque toujours les dimensions indiquées dans l'énoncé.
J'ai vraiment besoin d aide svp.
Dm de maths
Re: Dm de maths
La 4) c'est : Soit h0(en indice)^3 = 300/pi *
J'avais juste oublié le = 300/pi.
J'avais juste oublié le = 300/pi.
Re: Dm de maths
Bonjour
1) Le volume d'un cône est égal à $\frac{\pi r^2 h}{3}$
Si on veut un volume de 50 cm^3 on a donc $\frac{\pi r^2 h}{3}=50$ donc $r^2=\frac{150}{\pi h}$
2) La surface latérale est un secteur circulaire qui a pour rayon l'apothème du cône.
L'apothème est l'hypoténuse d'un triangle rectangle donc les côtés de l'angle droit mesurent le rayon de la base et la hauteur (aidez vous d'une figure) donc $a=\sqrt{r^2+h^2}$
$a=\sqrt{\frac{150}{\pi h} +h^2}$
L'arc de cercle a pour longueur le périmètre de la base donc le secteur circulaire a pour aire
$\pi a^2\times \frac{2\pi r}{2\pi a} =\pi r a$
$S(h) =\pi^2 r^2 a^2=\pi^2 \times \frac{150}{\pi h} \times (\frac{150}{\pi h} +h^2)=150\frac{\pi}{h} (\frac{150}{\pi h}+h^2)$
$S(h)=150\pi ( \frac{150}{\pi h^2}+h)$
Essayez de poursuivre.
1) Le volume d'un cône est égal à $\frac{\pi r^2 h}{3}$
Si on veut un volume de 50 cm^3 on a donc $\frac{\pi r^2 h}{3}=50$ donc $r^2=\frac{150}{\pi h}$
2) La surface latérale est un secteur circulaire qui a pour rayon l'apothème du cône.
L'apothème est l'hypoténuse d'un triangle rectangle donc les côtés de l'angle droit mesurent le rayon de la base et la hauteur (aidez vous d'une figure) donc $a=\sqrt{r^2+h^2}$
$a=\sqrt{\frac{150}{\pi h} +h^2}$
L'arc de cercle a pour longueur le périmètre de la base donc le secteur circulaire a pour aire
$\pi a^2\times \frac{2\pi r}{2\pi a} =\pi r a$
$S(h) =\pi^2 r^2 a^2=\pi^2 \times \frac{150}{\pi h} \times (\frac{150}{\pi h} +h^2)=150\frac{\pi}{h} (\frac{150}{\pi h}+h^2)$
$S(h)=150\pi ( \frac{150}{\pi h^2}+h)$
Essayez de poursuivre.
Re: Dm de maths
Bonjour,
Je ne comprends pas ton raisonnement pour la question 1)
Et pourquoi S(h) = pi^2×a^2×r^2
Tes calculs sont très bien détaillés en je t'en remercie mais je n'ai pas envie de recopier bêtement les réponses, j'aimerais mieux comprendre donc si tu pourrais m'expliquer stp.
Je ne comprends pas ton raisonnement pour la question 1)
Et pourquoi S(h) = pi^2×a^2×r^2
Tes calculs sont très bien détaillés en je t'en remercie mais je n'ai pas envie de recopier bêtement les réponses, j'aimerais mieux comprendre donc si tu pourrais m'expliquer stp.
Re: Dm de maths
Si on étale la surface latérale du cône, obtient un secteur circulaire qui fait partie d'un disque de rayon $a$ (l'apothème du cône). Ce disque a pour aire $\pi a^2$.
On obtient simplement une partie du disque. Le disque tout entier a pour périmètre $2\pi a$ mais la surface latérale du secteur a pour périmètre $2\pi r$
Par proportionnalité, l'aire latérale est donc égale à $\pi a^2 \times \frac{2\pi r}{2\pi a}$ soit $\pi a r$
D'après le texte $S(h)$ est le carré de cette surface latérale.
On obtient simplement une partie du disque. Le disque tout entier a pour périmètre $2\pi a$ mais la surface latérale du secteur a pour périmètre $2\pi r$
Par proportionnalité, l'aire latérale est donc égale à $\pi a^2 \times \frac{2\pi r}{2\pi a}$ soit $\pi a r$
D'après le texte $S(h)$ est le carré de cette surface latérale.
Re: Dm de maths
Ah oui d'accord je comprends mieux, et pour la question 1 ?
Re: Dm de maths
Ah d'accord , tu peux m'aider pour la suite maintenant stp.
En fait j'ai essayé de continuer mais pour la dérivée je trouve 0 et je ne pense pas que ca soit bon car en question 4 il va falloir montrer quand c'est supérieur et inférieur à 0 Donc ma dérivée est fausse à priori.
, tu peux m'aider pour la suite maintenant stp.En fait j'ai essayé de continuer mais pour la dérivée je trouve 0 et je ne pense pas que ca soit bon car en question 4 il va falloir montrer quand c'est supérieur et inférieur à 0 Donc ma dérivée est fausse à priori.
Re: Dm de maths
3) On utilise $(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}$
Donc la dérivée de $\frac{1}{h^2}$ est : $-\frac{2h}{h^4}=-\frac{2}{h^3}$
$\displaystyle S'(h)=150\pi (\frac{150}{\pi}\times (-\frac{2}{h^3})+1)=150\pi (\frac{-300+\pi h^3}{\pi h^3})$
Puisque $h\geq 0$, la dérivée a le signe de $-300+\pi h^3$ et s'annule pour $h^3=\frac{300}{\pi}=h_0^3$
Donc la dérivée de $\frac{1}{h^2}$ est : $-\frac{2h}{h^4}=-\frac{2}{h^3}$
$\displaystyle S'(h)=150\pi (\frac{150}{\pi}\times (-\frac{2}{h^3})+1)=150\pi (\frac{-300+\pi h^3}{\pi h^3})$
Puisque $h\geq 0$, la dérivée a le signe de $-300+\pi h^3$ et s'annule pour $h^3=\frac{300}{\pi}=h_0^3$
Re: Dm de maths
Je ne comprends pas pourquoi tu as seulement dérivé 1/h^2 et pas le reste. 
