Justifier une équation de cercle C - Equation Cartésienne

[JeMeSuisPerdu]

Bonjour,

Je dois répondre à l'exercice suivant mais je suis un peu perdu, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Voici son énoncé:

On considères l'équation suivante x²+y²-4x+3=0

1. Justifier que cette équation est celle d'un cercle C dont on précisera le centre et le rayon.
2. Soit a un nombre réel. On appelles D la droite d'équation y=ax. Discuter suivant les valeurs du réel a le nombre de points d'intersection entre la droite D et le cercle C.

Je vous remercie d'avance énormément pour votre aide et vos conseils.
Passez une belle journée.

[Job]

Bonjour

1) Il faut considérer les termes en $x$ comme le début du développement d'un carré : $-4x$ est donc le double produit soit :
$x^2-4x=(x-2)^2 -4$
L'équation du cercle s'écrit alors : $(x-2)^2-4+y^2+3=0$
$(x-2)^2+y^2-1=0$
$(x-2)^2+y^2=1$
C'est l'équation d'un cercle de centre le point $A (2,0)$ et de rayon 1.

2) Il faut résoudre le système formé par les 2 équations.
Dans l'équation du cercle, on remplace $y$ par $ax$.
$x^2+a^2x^2 -4x+3=0$
$(a^2+1)x^2 -4x+3=0$
Le coefficient de $x^2$ n'est jamais nul, c'est donc une équation du second degré.
$\Delta =4^2-4(a^2+1)(3)=4[4-3(a^2+1))]=4(-3a^2+1)$

* Si $-3a^2+1=0$ soit $a^2=\frac{1}{3}$ donc $a=\frac{1}{\sqrt 3}$ ou $a=-\frac{1}{\sqrt 3}$ l'équation a une racine double donc la droite est tangente au cercle.

* Si $-3a^2+1>0$ soit $a^2<\frac{1}{3}$ donc $-\frac{1}{\sqrt 3}<a<\frac{1}{\sqrt 3}$ l'équation a 2 racines donc la droite est sécante au cercle en 2 points.

* Si $-3a^2+1<0$ soit $a^2>\frac{1}{3}$ donc $a<-\frac{1}{\sqrt 3}$ ou $a>\frac{1}{\sqrt 3}$l'équation n'a pas de solution donc la droite ne coupe pas le cercle.

[JeMeSuisPerdu]

Wow, merci beaucoup ! C'est extrêmement bien expliqué et plus clair pour moi maintenant !
Je penses être en mesure de reproduire cette logique à l'avenir, merci énormément