[Problème] Points communs entre paraboles

[Shareman]

Bonjour,

Voici un petit problème axé sur le thème des points communs entre des paraboles.
A l'aide de Geogebra j'ai traçé, sur un graphique ci-joint, les courbes demandées.
Je sèche sur la dernière question, merci d'avance pour vos remarques...

1.) On considère la fonction : $y=ax^2+bx+c$ où $x$ est la variable, et la courbe $P_0$ représentative des variations de cette fonction dans un système d'axes perpendiculaires.
$\quad$- Déterminer les coefficients $a$, $b$, $c$ pour que la courbe $P_0$ ait pour sommet le point $S(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{4})$ et passe par le point $A(-1;-2)$, puis construire cette courbe.
2.) Construire, sur le même graphique que $P_0$, la courbe $P_1$ représentative des variations de la fonction : $y=-x^2-2x+3$.
$\quad$- Calculer les coordonnées des points $\{M;N\}=P_0 \cap P_1$.
3.) Soient la fonction $y=(1-2m)x^2-(3m-1)x+5m-2$ (1), où $x$ est la variable, $m$ un paramètre, et $P$ la courbe représentative des variations de cette fonction dans le même système d'axes que les courbes $P_0$ et $P_1$.
$\quad$- Montrer que, $\forall m \in R$, on a $\{M;N\}\in P$.
4.) Soit $D$ la droite d'équation : $y=+1$.
$\quad$a.) - Montrer que, $\forall m \in R$, on a $P\cap D=\{H;K\}$, où $H$ et $K$ sont 2 points distincts.
$\quad$b.) - Montrer qu'il existe entre les abscisses des points $H$ et $K$ une relation indépendante de $m$.
$\quad$c.) - En déduire que, $\forall m \in R$, les points $H$ et $K$ sont conjugués harmoniques par rapport à 2 points fixes que l'on précisera.
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- 1.) La 1ère équation est l'expression de l'abscisse du sommet à l'aide des coefficients :
$\quad x_S=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow 2b=2a.$
La 2ème équation liée au sommet $S(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{4})$: $a(-\dfrac{1}{2})^2+b(-\dfrac{1}{2})+c=-\dfrac{9}{4}$;
Enfin, la 3ème équation associée au point $A(-1;-2)$: $a(-1)^2+b(-1)+c=-2$;
Pour déterminer la fonction associée à $P_0$, on résout ce système de trois équations à trois inconnues :
$\quad\left\{
\begin{array}{rcr}
a-b+c&=&-2\\
a-2b+4c&=&-9\\
b&=&a\\
\end{array}
\right.\quad\Longrightarrow\quad a=1, b=1\text{ et } c=-2\quad\Longrightarrow\quad y=x^2+x-2.$

- 2.) $\{M;N\}=P_0 \cap P_1\Longleftrightarrow y=x^2+x-2=-x^2-2x+3\Longleftrightarrow(x-1)(2x+5)=0.$
Les abscisses des points $\{M;N\}$ : $x_M=1,\,x_N=-\dfrac{5}{2}$ et, après calcul, les coordonnées demandées : $M(1;0)$ et $N(-\dfrac{5}{2};-\dfrac{7}{4})$.

- 3.) Pour prouver que $\{M;N\}\in P$, on vérifie que les coordonnées de chacun vérifient (1) :
$\quad(1-2m)\times 1^2-(3m-1)\times 1+5m-2=0\ \Longrightarrow M\in P,$
$\quad(1-2m)\times(-\dfrac{5}{4})^2-(3m-1)\times(-\dfrac{5}{4})+5m-2=-\dfrac{7}{4}\ \Longrightarrow N\in P.$

- 4.a) L'équivalence $P \cap D=\{H;K\}\Longleftrightarrow(1-2m)x^2-(3m-1)x+5m-2=1$, est valable si cette équation possède toujours des solutions. Examinons son discriminant :
$\quad\Delta=[-(3m-1)]^2-4(1-2m)(5m-3)=9m^2-6m+1-4(5m-3-10m^2+6m)=49m^2-50m+13>0.$
$\quad\forall m : \Delta>0$; qui est un polynôme en $m$ dont le discriminant est négatif : $\Delta_m=-48<0.$
Son signe est celui du coefficient de $m^2$ : $49\gt 0$, on en déduit que les points $\{H;K\}$ seront toujours distincts.
CQDF et rédigé correctement ?

- 4.b) Les relations entre coefficients et racines d'un trinôme sont : $x'x''=\dfrac{c}{a}$ et $x'+x''=-\dfrac{b}{a}$.
$\quad x_Hx_K=\dfrac{5m-3}{1-2m}$ et $x_H+x_K=\dfrac{3m-1}{1-2m}$
$\quad x_Hx_K+(x_H+x_K)=\dfrac{5m-3}{1-2m}+\dfrac{3m-1}{1-2m}=-4,$ la relation indépendante de $m.$ CQFD ?

- 4.c) La relation pour que les nombres $x_A, x_B, x_H, x_K\,$ soient les abscisses de quatre points qui forment une division harmonique s'écrit :
$\quad 2x_H x_K+2x_A x_B=(x_H+x_K)(x_A+x_B)$,
une expression que je ne sais pas utiliser conjointement avec la relation trouvée à la question précédente ?

Encore merci, @+

[Job]

Bonsoir

Sans utiliser directement la question b).

Je désigne par $a$ et $b$ les abscisses de $A$ et $B$ et $P=x_Hx_K=\frac{5m-3}{1-2m}$, $S=x_H+x_K=\frac{3m-1}{1-2m}$

On doit avoir $2ab+2P=(a+b)S$ soit $\frac{2(5m-3)}{1-2m}+2P=S(\frac{3m-1}{1-2m})$

$2(5m-3)+2P(1-2m)=S(3m-1)$

$m(10-4P-3S)+(-6+2P+S)=0$

Cette égalité est vérifiée pour tout $m$ si $\left\{\begin{array}{r c l}10-4P-3S=0 \\ 2P-6+S=0\end{array}\right .$

Système qui a pour solution : $S=-2$ et $P=4$.

Donc $a$ et $b$ sont solution de l'équation $X^2+2X+4=0$. Le problème est que cette équation n'a pas de solution réelle.

À partir de la question b)

La relation peut s'écrire : $x_Hx_K+4+ (x_H+X_K)=0$ ou encore, $2(x_Hx_K+4)=-2(x_H+X_K)=0$

Par identification avec la relation rappelée on a donc $ab=4$ et $a+b=-2$. Même résultat et même abscence de solution.

Pour les autres questions pas de problème.

[Shareman]

Merci beaucoup; j'aurais pas trouvé même en restant plusieurs jours dessus...

Sans utiliser directement la question b).
Je désigne par $a$ et $b$ les abscisses de $A$ et $B$ et $P=x_Hx_K=\frac{5m-3}{1-2m}$, $S=x_H+x_K=\frac{3m-1}{1-2m}$
On doit avoir $2ab+2P=(a+b)S$ soit $\frac{2(5m-3)}{1-2m}+2P=S(\frac{3m-1}{1-2m})$
$2(5m-3)+2P(1-2m)=S(3m-1)$
$m(10-4P-3S)+(-6+2P+S)=0$
Cette égalité est vérifiée pour tout $m$ si $\left\{\begin{array}{r c l}10-4P-3S=0 \\ 2P-6+S=0\end{array}\right .$
Système qui a pour solution : $S=-2$ et $P=4$.
Donc $a$ et $b$ sont solution de l'équation $X^2+2X+4=0$. Le problème est que cette équation n'a pas de solution réelle.
- - - - - - - - Couic - - - - - - -

C'est doublement frustrant ces questions difficiles, dans lesquelles on laisse à penser qu'une solution existe, mais rien nada !
En tout cas, c'est riche d'enseignement ces techniques pour transformer et identifier des expressions

J'ai rajouté la courbe paramétrée, $P_m$, qui manquait sur le graphique.

@+