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Aidez moi SVP 🥺

ABC est un triangle quelconque. O est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. G sont est sont centre de gravité. H est le point tel que le vecteur OH=OA+OB+OC
I est le milieu de de [BC] et J est milieu de [AC]

1-justifie que les vecteurs AH et BC sont orthogonaux.
2- Demontre que H est l’orthocentre de triangle ABC

Bonjour

1) $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{AH} =\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{OI} +\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{OI}$ car $I$ est le milieu de $[BC]$

$O$ centre du cercle circonscrit et $I$ milieu de $[BC]$ donc $(OI)$ est la médiatrice de $[BC]$ donc perpendiculaire à $(BC)$

Par conséquent les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux.

2) La droite $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ donc $(AH)$ est une hauteur du triangle.

On démontrerait de même que $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$ donc une hauteur du triangle.

$H$ point de concours de 2 hauteurs est donc l'orthocentre du triangle.

Aide svp
Soit f:ℝ→ℝ
définie par f(x)=2x/(1+x2)
1) f est-elle injective? surjective?
Montrer que f(ℝ)=[−1,1]
2) Montrer que la restriction g:[−1,1]→[−1,1]
, g(x)=f(x)
est une bijection.

Bonsoir
f:R>>>R
F(x)=(x+2)^2
Démontre que n’est Ni injective, Ni surjective

Exo2

G:R^2>>>>R^2
G(x,y)=(2x-3;3x+4)
Démontre que f n’est pas surjective

Bonjour

Exercice 1[/b

$F(0=4$ et $F(-4)=(-2)^2=4=F(0)$ donc $F$ n'est pas injective.

Pour tout réel $x,\ F(x)\geq 0$ donc $F$ n'est pas surjective.

Exercice 2

$G(x,y)=(0,0) \Longleftrightarrow 2x-3=0$ et $3x+4=0$ soit à la fois $x=\frac{3}{2}$ et $x=-\frac{4}{3}$.

C'est impossible donc $(0,0)$ n'a pas d'antécédent et $G$ n'est pas surjective.

ABC est triangle équilatéral de côté *a*. i=bar{(A,1);(B,2);(C,-2)}. Besoin d’aide à partir de la question c)

1-construis I.
2-calculer IA^2,IB^2,IC^2 en fonction de a .
3-(Ek),M€P, MA^2+2MB^2-2MC^2=Ka^2.
a- déterminer (Ek) en fonction de k.
b- déterminer k pour que B appartienne à (Ek).
c- démontrer que (E-1) est un cercle tangent à (AB)
d- soit D le symétrique de B par rapport à (AI).
Justifie que D€(AC)
4- on suppose que (E-1) est tangent à (AC) en D
Justifier que le triangle IBD est équilatéral

Il y’a personne?

Bonjour

Vous avez dû trouver que $\overrightarrow{AI} =2\overrightarrow{CB}$

$MA^2+2MB^2-2MC^2=MI^2+IA^2+2IB^2-2IC^2=MI^2-4a^2$

3.b) $BI^2-4a^2=3a^2-4a^2=-a^2$ donc $k=-1$

c) Donc d'après la question b) $E_{-1}$ passe par $B$

$IA^2=4a^2\ ;\ AB^2=a^2\ ;\ IB^2=3a^2$ donc d'après la propriété de Pythagore, le triangle $AIB$ est rectangle en $B$.
Le cercle de centre $I$ et de rayon $IB$ est dons tangent à $(AB)$ en $B$.

d) Par symétrie, $\hat{IAD}=\hat {IAB}=\frac{\pi}{3}$

On en déduit que $\hat{DAC}=\pi$ donc $D$ appartient à $(AC)$