Relations coefficients/racines

[Shareman]

Bonjour,

Cet exercice illustre les avantages de connaître les identités remarquables et les relations coefficients/racines.

Soit l'équation : $x^2-(m-2)x-m^2-m-3=0$ ou $x$ est l'inconnue, $m$ un paramètre.
1.) Montrer que, $\forall m \in\mathbb{R}$, cette équation admet dans le corps $\mathbb{R}$ deux racines distinctes $x'$ et $x''$.
2.a) Calculer, en fonction de $m$, la valeur de l'expression :
$\quad y=(x'+1)(x''+1)(x'-1)(x''-1)$
2.b) Quel est l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles on a $y=0$ ?
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1.) Calcul du discriminant : $\Delta=(-(m-2))^2+4(m^2+m+3)=5m^2+16$.
$\quad\forall m\in\mathbb{R},\ \Delta>0,$ cette équation admet deux solutions indépendamment des valeurs de $m$.

2.a) Compte tenu de $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ :
$\quad y=(x'+1)(x''+1)(x'-1)(x''-1)\iff y=(x'^2-1)(x''^2-1).$
Si l'on remarque que $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ :
$\quad y=x'^2x''^2-(x'^2+x''^2)+1\iff y=(x'x'')^2+2x'x''+1-(x'+x'')^2,$
$\quad y=(x'x''+1)^2-(x'+x'')^2.$
Maintenant que $y$ est exprimé à l'aide des fonctions symétriques $x'+x''$ et $x'x'',$
et comme pour n'importe quel trinôme, $t(x)=ax^2+bx+c$ on a :
$\quad x'+x''=-\dfrac{b}{a}\quad$ et $\quad x'x''=\dfrac{c}{a},$
c-a-d, dans le cas de l'équation initiale :
$\quad a=1,\ x'+x''=m-2\,$ et $\,x'x''=-(m^2+m+3).$
Conclusion :
$\quad y=(x'x''+1)^2-(x'+x'')^2=\big[1-(m^2+m+3)\big]^2-(m-2)^2,$
$\quad y=m(m+2)(m^2+4).$

- BONUS : en utilisant cette identité : $\ (a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2$
et en posant : $a=x'$, $c=x''$, $b=1$ et $d=1,$ on retrouve plus rapidement :
$y=(x'^2-1)(x''^2-1)=(x'x''+1)^2-(x'+x'')^2.$

2.b) L'ensemble $E$ des valeurs de $m$ pour lesquelles on a $y=0$ ?
En tenant compte que $\,\forall m\in\mathbb{R},\ m^2+4>0,$ on peut répondre :
$\quad m(m+2)(m^2+4)=0 \iff m=0\,$ ou $\,m=-2.$
En définitive, l'ensemble contient ces deux valeurs : $E=\{0,-2\}$.

Je pense que c'est correct, Merci pour les commentaires.
@+

[Job]

Bonjour

Oui tout est correct.
Une astuce parfois utile : pour la première question on peut éviter de calculer le discriminant.

Si $a$ et$c$ sont de signes contraires, $b^2-4ac>0$ donc le trinôme possède des racines.

Ici $a=1$ et $c=-(m^2+m+3)=-[(m+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+3]<0$

D'autre part lorsque $a$ et $c$ sont de signes contraires, le produit des racines est négatif donc il y a une racine positive et une racine négative.

[Shareman]

Merci