Etude de la fonction homographique

[Shareman]

Bonjour,

Cet exercice est une petite étude "théorique" de la fonction homographique.
Merci de vérifier ces calculs et la logique.

On considère la fonction homographique :
$\quad f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
où $x$ est la variable, et la courbe $C$ représentative des variations de cette fonction. Soit $m$ un nombre relatif donné.
1.) Quelle relation $E$ doit il exister entre $m$ et les coefficients $a, b, c, d\,$ pour qu'il soit possible de déterminer sur $C$
des points où la tangente à cette courbe ait pour coefficient directeur $m$ ?
2.) Montrer que si cette relation $E$ est vérifiée, il existe 2 points associés à chaque valeur de $m$.
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1.) Cette fonction, qui est homographique si $c\ne0$, est définie sur $\mathbb{R}-\{-\dfrac{d}{c}\}.$
Le coefficient directeur (CD) de la tangente en un point de $C$ est la valeur du nombre dérivée en ce point.
La fonction dérivée de $f(x)$:
$\quad f'(x)=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$
Si $m\ne 0$ est la valeur du CD associée à un point de $C$, on a :
$\quad m=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}\iff (cx+d)^2=\dfrac{ad-bc}{m}$
La relation $E$ entre les coefficients $a, b, c, d\,$ et $m$ est :
$\quad E=\dfrac{ad-bc}{m}$
Cette relation $E$ qui n'a de sens que SI elle est positive :
$\quad m(ad-bc)\ge 0.\quad$ CQFD ?

2.) Dans ce cas, les deux points associés à $m$ sont les solutions de l'équation :
$\quad (cx+d)^2=\dfrac{ad-bc}{m}$
Ces solutions, $x'$ et $x''$, sont :

$\quad x' =-\dfrac{d}{c}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{ad-bc}{m}}}{c}\quad$ et $\quad x''=-\dfrac{d}{c}-\dfrac{\sqrt{\dfrac{ad-bc}{m}}}{c}$

Bonus : $x'$ et $x''$ sont les abscisses de deux points symétriques par rapport à un centre de symétrie $S$ de coordonnées :
$\quad S(x;y)=\big(-\dfrac{d}{c};\,\dfrac{a}{c}\big)$ qui est l'intersection des deux asymptotes à la courbe $C$ :
$\quad x=-\dfrac{d}{c}\quad$ et $\quad y=\dfrac{a}{c}\quad$ CQFD ?

Merci et @+

[Job]

Bonsoir

Je ne sais pas si le texte le précisait mais si $ad-bc=0$ alors f est une fonction constante définie sur ${\mathbb R}-\{-\frac{d}{c}\}$ et dans ce cas la seule valeur possible pour $m$ est 0.

La rédaction est maladroite R est une relation donc on ne peut pas écrire "R="

En supposant $ad-bc\neq 0$ on a pour $m\neq 0$, $(cx+d)^2=\frac{ad-bc}{m}$ donc pour qu(il existe des tangentes de direction $m$, on doit avoir $ad-bc$ et $m$ de même signe. C'est ceci qui constitue la relation demandée.

Pas de problème pour la suite, c'est bon.

[Shareman]

Merci bcp