Centre de symétrie d'une fonction

[Shareman]

Bonjour,

C'est une petite étude "théorique" d'une fonction polynomiale du 3ème degré.
Cet exercice est sorti d'un ancien livre de la classe de 1ère.

On considère la fonction : $y=x^3+px+q$, où $x$ est la variable; $p$ et $q$ sont des paramètres.
Soit $C$ la courbe représentative des variations de $y$ dans un repère orthonormé.
On considère les valeurs $x_1=\alpha$ et $x_2=-\alpha$ de la variable $x$.
- 1.) Calculer $y_1$ et $y_2$. Montrer que, $\forall\alpha\in\mathbb{R}$, $y_1+y_2$ a une valeur constante.
- 2.) En déduire que le point $A$ de coordonnées ($x=0$, $y=q$) est un centre symétrie pour la courbe $C$.
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1.) Calcul des valeurs : $y_1$ pour $x_1=\alpha$, $y_2$ avec $x_2=-\alpha$ :
$y_1=\alpha^3+p\alpha+q$
$y_2=(-\alpha)^3+p(-\alpha)+q=-\alpha^3-p\alpha+q$
Calcul de la somme de $y_1+y_2$:
$y_1+y_2=\alpha^3+p\alpha+q-\alpha^3-p\alpha+q$
Donc : $y_1+y_2=2q$
Je remarque que $y_1+y_2$ est indépendant de $\alpha$.
La fonction dérivée : $y'=3x^2+p,$ est indépendante de $q$.
$q$ est le terme constant de $f(x)$, un point fixe indépendant de $x$. CQFD ?

2.) Montrons que le centre de symétrie est : $A(0;q)$
On sait qu'un point de coordonnées $(a,b)$ est le centre de symétrie d'une courbe ssi :
Le domaine de la fonction $f$ est centré sur $a$ et si : $f(a-x)+f(a+x)=2b$
Pour ce qui nous concernent, $D_f=\mathbb{R}$. Si on pose :
$a=0$ et $x=\alpha$, $y_1=f(0-\alpha)$ et $y_2=f(0+\alpha)$ on obtient bien :
$f(0-\alpha)+f(0+\alpha)=2b=2q$. CQFD ?

Merci d'avance pour vos réponses...

[Job]

Bonjour

Les calculs sont exacts.

La fonction dérivée : $y'=3x^2+p,$ est indépendante de $q$.
$q$ est le terme constant de $f(x)$, un point fixe indépendant de $x$. CQFD ?

La deuxième ligne écrite n'a pas vraiment de signification. On peut simplement dire que la représentation graphique de toute fonction du type $f(x)=x^3+px+q$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $q$.

On peut aller plus loin pour l'étude de ce type de fonction.

Si $p>0$ la fonction est strictement croissante et compte tenu des limites en $-\infty$ et $+\infty$ on en déduit que l'équation $x^3+px+q=0$ admet une seule solution réelle.

Si $p=0$ une seule solution réelle à l'équation : la racine cubique de $q$.

Si $p<0$, la fonction dérivée a 2 racines : $\pm \sqrt{\frac{-p}{3}}$ , l'équation peut admettre une ou trois racines réelles.

Dans l'ensemble des complexes, il y a toujours 3 racines mais l'étude est un peu compliquée

[Shareman]

Les calculs sont exacts.

La rédaction de la 2ème question est correcte ?

La fonction dérivée : $y'=3x^2+p,$ est indépendante de $q$.
$q$ est le terme constant de $f(x)$, un point fixe indépendant de $x$. CQFD ?

La deuxième ligne écrite n'a pas vraiment de signification. On peut simplement dire que la représentation graphique de toute fonction du type $f(x)=x^3+px+q$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $q$.

Donc, ma remarque n'était pas justifiée pour l'exercice. Merci pour la précision/rectification.

On peut aller plus loin pour l'étude de ce type de fonction.
Si $p>0$ la fonction est strictement croissante et compte tenu des limites en $-\infty$ et $+\infty$ on en déduit que l'équation $x^3+px+q=0$ admet une seule solution réelle.
Si $p=0$ une seule solution réelle à l'équation : la racine cubique de $q$.
Si $p<0$, la fonction dérivée a 2 racines : $\pm \sqrt{\frac{-p}{3}}$ , l'équation peut admettre une ou trois racines réelles.

Oui, dans mon bouquin on trouve plusieurs exemples pour $p<0$, exemple :
$f(x)=x^3-3x+2=(x+2)(x-1)^2$ avec 3 racines réelles distinctes ou confondues.

@+