Bonjour,
C'est une petite étude "théorique" d'une fonction polynomiale du 3ème degré.
Cet exercice est sorti d'un ancien livre de la classe de 1ère.
On considère la fonction : $y=x^3+px+q$, où $x$ est la variable; $p$ et $q$ sont des paramètres.
Soit $C$ la courbe représentative des variations de $y$ dans un repère orthonormé.
On considère les valeurs $x_1=\alpha$ et $x_2=-\alpha$ de la variable $x$.
- 1.) Calculer $y_1$ et $y_2$. Montrer que, $\forall\alpha\in\mathbb{R}$, $y_1+y_2$ a une valeur constante.
- 2.) En déduire que le point $A$ de coordonnées ($x=0$, $y=q$) est un centre symétrie pour la courbe $C$.
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1.) Calcul des valeurs : $y_1$ pour $x_1=\alpha$, $y_2$ avec $x_2=-\alpha$ :
$y_1=\alpha^3+p\alpha+q$
$y_2=(-\alpha)^3+p(-\alpha)+q=-\alpha^3-p\alpha+q$
Calcul de la somme de $y_1+y_2$:
$y_1+y_2=\alpha^3+p\alpha+q-\alpha^3-p\alpha+q$
Donc : $y_1+y_2=2q$
Je remarque que $y_1+y_2$ est indépendant de $\alpha$.
La fonction dérivée : $y'=3x^2+p,$ est indépendante de $q$.
$q$ est le terme constant de $f(x)$, un point fixe indépendant de $x$. CQFD ?
2.) Montrons que le centre de symétrie est : $A(0;q)$
On sait qu'un point de coordonnées $(a,b)$ est le centre de symétrie d'une courbe ssi :
Le domaine de la fonction $f$ est centré sur $a$ et si : $f(a-x)+f(a+x)=2b$
Pour ce qui nous concernent, $D_f=\mathbb{R}$. Si on pose :
$a=0$ et $x=\alpha$, $y_1=f(0-\alpha)$ et $y_2=f(0+\alpha)$ on obtient bien :
$f(0-\alpha)+f(0+\alpha)=2b=2q$. CQFD ?
Merci d'avance pour vos réponses...
Centre de symétrie d'une fonction
Re: Centre de symétrie d'une fonction
Bonjour
Les calculs sont exacts.
On peut aller plus loin pour l'étude de ce type de fonction.
Si $p>0$ la fonction est strictement croissante et compte tenu des limites en $-\infty$ et $+\infty$ on en déduit que l'équation $x^3+px+q=0$ admet une seule solution réelle.
Si $p=0$ une seule solution réelle à l'équation : la racine cubique de $q$.
Si $p<0$, la fonction dérivée a 2 racines : $\pm \sqrt{\frac{-p}{3}}$ , l'équation peut admettre une ou trois racines réelles.
Dans l'ensemble des complexes, il y a toujours 3 racines mais l'étude est un peu compliquée
Les calculs sont exacts.
La deuxième ligne écrite n'a pas vraiment de signification. On peut simplement dire que la représentation graphique de toute fonction du type $f(x)=x^3+px+q$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $q$.Shareman a écrit : La fonction dérivée : $y'=3x^2+p,$ est indépendante de $q$.
$q$ est le terme constant de $f(x)$, un point fixe indépendant de $x$. CQFD ?
On peut aller plus loin pour l'étude de ce type de fonction.
Si $p>0$ la fonction est strictement croissante et compte tenu des limites en $-\infty$ et $+\infty$ on en déduit que l'équation $x^3+px+q=0$ admet une seule solution réelle.
Si $p=0$ une seule solution réelle à l'équation : la racine cubique de $q$.
Si $p<0$, la fonction dérivée a 2 racines : $\pm \sqrt{\frac{-p}{3}}$ , l'équation peut admettre une ou trois racines réelles.
Dans l'ensemble des complexes, il y a toujours 3 racines mais l'étude est un peu compliquée
Re: Centre de symétrie d'une fonction
La rédaction de la 2ème question est correcte ?Job a écrit :Les calculs sont exacts.
Donc, ma remarque n'était pas justifiée pour l'exercice. Merci pour la précision/rectification.Shareman a écrit : La fonction dérivée : $y'=3x^2+p,$ est indépendante de $q$.
$q$ est le terme constant de $f(x)$, un point fixe indépendant de $x$. CQFD ?Job a écrit :La deuxième ligne écrite n'a pas vraiment de signification. On peut simplement dire que la représentation graphique de toute fonction du type $f(x)=x^3+px+q$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $q$.
Oui, dans mon bouquin on trouve plusieurs exemples pour $p<0$, exemple :On peut aller plus loin pour l'étude de ce type de fonction.
Si $p>0$ la fonction est strictement croissante et compte tenu des limites en $-\infty$ et $+\infty$ on en déduit que l'équation $x^3+px+q=0$ admet une seule solution réelle.
Si $p=0$ une seule solution réelle à l'équation : la racine cubique de $q$.
Si $p<0$, la fonction dérivée a 2 racines : $\pm \sqrt{\frac{-p}{3}}$ , l'équation peut admettre une ou trois racines réelles.
$f(x)=x^3-3x+2=(x+2)(x-1)^2$ avec 3 racines réelles distinctes ou confondues.
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