Parabole & points fixes

[Shareman]

Bonjour,

L'objet de cet exercice est la recherche de points fixes sur une courbe du second degré.

On considère la fonction suivante :
$\qquad y=(m-1)x^2+(m-2)x-2m+4$
ou $x$ est la variable et $m$ un paramètre dans $\mathbb{R}$.

1. Mettre cette fonction sous le forme: $y=f(x)+mg(x)$
2. Discuter et résoudre le système suivant à 2 inconnues $x$ et $y$ :
$\left\{
\begin{array}{l}
g(x)=0 \\
y = f(x)
\end{array}
\right.$
3. En déduire que, $\forall m\in\mathbb{R}$, la courbe passe par 2 points dont les coordonnées sont indépendantes de $m$.
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- 1. On transforme la fonction vers la forme demandée :
$\qquad y=(-x^2-2x+4)+m(x^2+x-2),$ et donc :
$\qquad g(x)=x^2+x-2$ puis $f(x)=-x^2-2x+4.$

- 2. $g(x)=0\iff x^2+x-2=0\iff (x+2)(x-1)=0\iff (x=-2\ \text{ ou }\ x=1).$
Ces deux valeurs trouvées sont les abscisses de deux points.
Pour résoudre $y=f(x)$, on substitue les deux valeurs de $x$ dans $f(x)$ :
$\qquad y_1=f(x_1)=f(-2)=4,$
$\qquad y_2=\ f(x_2)=f(1)=1.$

3.) Les valeurs de cette fonction définie sur $\mathbb{R}$ :
$\qquad y=(-x^2-2x+4)+m(x^2+x-2),$
sont indépendantes de celles de $m\,$ ssi $\ x_1=-2\,$ et $\,x_2=1.$
Conclusion; les deux couples : $(x_1;y_1)=(-2;4)$ et $(x_2;y_2)=(1;1),$
sont les coordonnées de deux points fixes qui appartiennent à la courbe.

Merci pour vos commentaires sur la rédaction,
@+

[Job]

Bonjour

On n'a pas une courbe mais une famille de courbes. (Pour $m=1$, la courbe n'est d'ailleurs pas une courbe du second degré mais une droite)

Conclusion : les points trouvés sont les points qui appartiennent à chacune des courbes de la famille.

(La méthode utilisée dans cet exercice est celle que j'avais indiquée en premier dans l'exercice précédent, c'est une méthode générale : pour trouver les points communs à une famille de courbes dont l'équation dépend d'un paramètre $m$, on cherche les valeurs de $x$ telles que la fonction de $x$ qui multiplie $m$ s'annule)

[Shareman]

Ok, merci beaucoup.

@+