Une hyperbole et une droite se coupent

[Shareman]

Bonjour,

Je poste cet exercice qui se résume a identifier les points d'intersections entre deux courbes.
L'intérêt principal est qu'une des courbes dépend d'un paramètre.

On considère l'hyperbole $H$ d'équation : $y_1 = \dfrac{2}{x}$
et les droites $D_m$ d'équations : $y_2=mx+m-2$, où $m\in\mathbb{R}$.

1.) Vérifier que les droites $D_m$ passent par un point fixe $C$, indépendant de $m$, et que $C$ appartient à $H$.
2.a) Représenter graphiquement la courbe $H$ et les droites $D_m$ pour les valeurs entières de $m\in\big[-1;\,5\big]$.
2.b) Combien de points en communs semblent avoir $H$ et $D_m$ ?
2.c) Démontrer qu'il existe qu'une seule valeur non nulle de $m$ pour laquelle $H$ et $D_m$ ont uniquement le point $C$ en commun.
Préciser cette valeur de $m$ associée à la droite $D_m$ qui est tangente à $H$ au point $C$.
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- 1.) Déterminer le point fixe $C$ revient à identifier une abscisse $x$ qui donne, indépendamment des valeurs de $m$, la même ordonnée $y$ dans les deux fonctions. Donc, comme on a :
$y_2 = mx+m-2\iff y_2=m(x+1)-2$, cela revient à établir l'égalité :
$y_1=y_2\iff \dfrac{2}{x}=m(x+1)-2$, pour identifier, comme candidate, l'abscisse $x=-1$.
Dans ce cas, $\forall m\in\mathbb{R}$, cette valeur annule bien le produit $m(x+1)$.
On vérifie avec $H$ : $y_1=y_2\iff \dfrac{2}{x}=-2\iff x=-1$.
Finalement, le point fixe $C$ a pour coordonnées : $(x_c;y_c)=(-1;-2)$.

- 2.a) Pour représenter les courbes $H$ et $D_m$ j'ai construis, à l'aide de Geogebra,
une petite animation autour de valeurs entières de $m$ (cf fichier ci-joint).
- 2.b) Suivant les valeurs de $m$, il semble exister un ou deux points communs entre $H$ et $D_m$.
- 2.c) Pour déterminer la valeur de $m$ il faut résoudre l'équation :
$x\ne 0,\ \dfrac{2}{x}=m(x+1)-2\iff\dfrac{2}{x}=mx+m-2\iff\dfrac{mx^2+mx-2x-2}{x}=0$
Ce qui revient à calculer le discriminant du trinôme et à discuter suivant $m$ :
$mx^2+mx-2x-2=0\iff x^2+x(m-2)-2=0$,
$\Delta=(m-2)^2-4\times(-2)m=m^2-4m+4=(m-2)^2\ge 0.$
On en déduit que l'équation, $x^2+x(m-2)-2=0$, a toujours des solutions (cf 2.b).
C'est uniquement pour : $\Delta=0\iff m=2$, que la droite $D_2$ est tangente à $H$ au point $C$.

Je pense que c'est bon, mais peut-on encore améliorer la rédaction ?
Merci bcp

[Job]

Bonjour

Pour la question 1, il ne faut pas faire intervenir, à priori, l'équation de l'hyperbole.
L'expression $m(x+1)-2$ est indépendante de $m$ si et seulement si $x+1=0$ soit $x=-1$. On a alors, quel que soit $m, y=-2$ .
On vérifie ensuite que le point de coordonnées $(-1,-2)$ appartient à l'hyperbole.

Une autre méthode plus lourde serait de prendre 2 valeurs distinctes $m_1$ et $m_2$, de calculer les coordonnées du point d'intersection des 2 droites $D_{m_1}$ et $D_{m_2}$ et de montrer que ce point appartient à $D_m$ quel que soit $m$.

Question 2.c). Il y a une erreur de calcul : $\Delta =(m+2)^2$ et la seule valeur de $m$ pour laquelle il y a un seul point commun est donc (-2) et en résolvant l'équation $\frac{2}{x} =-2x-4$ on retrouve bien $x=-1$

[Shareman]

Merci pour la réponse

Pour la question 1, il ne faut pas faire intervenir, à priori, l'équation de l'hyperbole.
L'expression $m(x+1)-2$ est indépendante de $m$ si et seulement si $x+1=0$ soit $x=-1$. On a alors, quel que soit $m, y=-2$ .
On vérifie ensuite que le point de coordonnées $(-1,-2)$ appartient à l'hyperbole.

J'ai compris, le point fixe $C$ appartient avant tout à la droite $D_m$ et son existence est a prouver indépendamment de l'hyperbole.

Une autre méthode plus lourde serait de prendre 2 valeurs distinctes $m_1$ et $m_2$, de calculer les coordonnées du point d'intersection des 2 droites $D_{m_1}$ et $D_{m_2}$ et de montrer que ce point appartient à $D_m$ quel que soit $m$.

Ok je retiens, se sera peut être utile dans un futur exercice...

Question 2.c). Il y a une erreur de calcul : $\Delta =(m+2)^2$ et la seule valeur de $m$ pour laquelle il y a un seul point commun est donc (-2) et en résolvant l'équation $\frac{2}{x} =-2x-4$ on retrouve bien $x=-1$

Oui, une bourde de calcul : $\Delta=(m-2)^2-4\times(-2m)=m^2+4m+4=(m+2)^2\ge 0.$
J'étais assez sûr de moi et je n'ai pas vérifié le résultat dans l'équation initiale,

@+