DM somme et produit

[yann]

Bonjour

Je suis en première S et j'espère un peu d'aide pour mon DM, voici l'énoncé :


Dans cet exercice, on veut étudier l'existence de solutions $(u,v)\in R_2$ du système $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$
où $P$ et $S$ sont deux réels donnés. On commence les trois premières questions par étudier le cas particulier où $S = \frac{3}{2}$
et $P= \frac{1}{2}$

Puis on traitera le cas général.


Cas particulier.

1 ) montrer que les fonctions polynômes $f_1(x)$ et $f_2(x)$ définies pour tout $x$ par $f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1$ et $f_2 = x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ ont les mêmes racines. Les calculer


2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de $f_1(x)$ et $f_2(x)$ des polynômes ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$


3 ) Déterminer toutes les solutions de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ quand $S = \frac{3}{2}$ et $P = \frac{1}{2}$



Cas général.

On veut montrer que $(u,v) \in R_2 $ est solution de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ si et seulement si $u$ et $v$ sont les racines de la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x) = x^2 - Sx + P$.

4 ) Soit $g$ la fonction trinôme de degré $2$ définie sur R par $g : x\mapsto ax^2 + bx + c $. Montrer que, dans le cas où $g$ possède des racines $x_1$ et $x_2$ (dans le cas d'une racine double , on prendra $ x_1 = x_2$) celles-ci vérifient : $\quad$ $\begin{vmatrix}
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\
x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}
\end{vmatrix}$

En déduire que si $u$ et $v$ sont racines de $x^2 - Sx + p $ alors $(u,v) \in R_2 $ est solution de


5 ) Combien de couples solutions de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ , la question précédente vous permet-elle de déduire ? Avez-vous prouver que ce sont les seuls ?


6 ) Prouver que si $(u,v) \in R_2 $ est solution alors $u$ et $v$ sont des racines de $x^2 - Sx + p $
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[yann]

j'ai fait ce calcul pour les racines des 2 polynômes

$f_1(x) = 2x² - 3x + 1 = 0 $

$a = 2, b = -3$

$\Delta = b^2 - 4 ac = (-3^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = (1)^2 $

$x_1 =\frac{3 + 1}{2\times2} = 1$

$x_2 = \frac{3 - 1}{2\times2} = \frac{1}{2}$



$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 $

$\Delta =b^2 - 4 ac = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{4} - \frac{4}{2} = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$x_1 = \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

$x_2 = \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{2} $

Soit {$1; \frac{1}{2}$}
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[Job]

Bonjour

C'est exact mais on peut remarquer que $f_1(x)=2f_2(x)$ donc les racines sont les mêmes.

[yann]

Bonjour

Doit-on, prouver que les fonctions sont proportionnelles ?

[Job]

Ce n'est pas demandé.
As-tu des problèmes pour la suite ?

[yann]

Bonjour Job

oui, je galère total avec ce DM

[yann]

pour la 1 )

je dois arriver à la conclusion suivante $f_1(x) = 0 $ <=> $f_2(x)$

j'ai des difficultés à établir une démonstration, généralement je n'arrive pas à conclure , manque de logique, de rigueur..

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[Job]

Pour la 1, ce que tu as fait est suffisant.

Tu devrais arriver à faire la 2 et essaie de proposer ta solution pour la 3.

[yann]

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pour la 2 ) le calcul est facile

$x_1 + x_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$x_1 \times x_2 = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$


$f_1$ c'est $2x^2 - 3x + 1 $ et $f_2$ c'est $2x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$

je propose :

dans le premier cas

a = 1
b = -3
c = 1

pour trouver $\frac{3}{2}$ avec les lettre a,b et c et bien je dois prendre $-b$


pour la 3 ) ne me dites pas la solution, cela ne m'aidera pas, par contre des questions posées peuvent m'aider....
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