produit scalaire

[nico033]

Bonsoir Job;

Pourriez vous m'aider sur un exercice que je ne comprend pas . En vous remerciant voici le sujet

On considère un triangle ABC rectangle en A. On désigne par I le milieu de AB et par J celui de AC
Le point H est le projeté orthogonal du point A sur le cote BC
But: démontrer que les droites (HI) et (HJ) sont orthogonales

Démontrer que HA + HB = 2 HI et que HA + HC = 2 HJ
Justifier les deux calculs successifs suivants
HB.HC - AB.HC = AB.HA
Démontrer que d'après les résultats précédents que HI.HJ = 0 Conclure

On pose a = AB et b = AC. On introduit i = 1/a AB et j = 1/b AC puis le repère (A, i,j)
quel est la nature du repère (A, i, j) . Justifier
quelles sont les coordonnées des points A, B, C , I et J
Calculer les coordonnées de H en fonction de a et b
calculer les coordonnés des vecteurs HI et HJ et conclure

On désigne par K le milieu de BC et par C le cercle circonscrit au triangle AIJ
Démontrer que K appartient à c
En déduire que H appartient à C . Conclure

Déterminer les longueurs HI, HJ et IJ en fonction des longueurs des cotés du triangle ABC
Conclure

[Job]

Bonjour nico

La ligne $\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HC}= \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HA}$ est fausse.
Quel est le texte correct ?

[nico033]

oui bien sur , je me suis trompé

HB.HC = AB.HC = AB.HA

[Job]

Bonjour

1) $\overrightarrow {HA}+\overrightarrow{HB}=(\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{HI} +(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{0}$ car $I$ est le milieu de $[A,B]$
Même démonstration pour la seconde égalité.

Le projeté de $\overrightarrow{AB}$ sur $\overrightarrow{HC}$ est le vecteur $\overrightarrow{HB}$ donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC}$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HA} +\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HA}+0$ car les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux

$\overrightarrow{HI}\cdot \overrightarrow{HJ}=\frac{1}{4} (\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB})\cdot (\overrightarrow{HA} +\overrightarrow{AC})=\frac{1}{4} (\overrightarrow{HA}^2 +\overrightarrow{HA}\cdot \overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HA} +\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC})$
$\overrightarrow{HA}\cdot \overrightarrow{HC}=0$ et $\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HA}=0$ (vecteurs orthogonaux)
En utilisant un résultat précédent : $\overrightarrow{HI}\cdot \overrightarrow{HJ} =\frac{1}{4} (\overrightarrow{HA}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HA})=\frac{1}{4} \overrightarrow{HA} \cdot ( \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4} \overrightarrow{HA}\cdot \overrightarrow{HB} =0$ (vecteurs orthogonaux)

Les vecteurs $\overrightarrow{HI}$ et $\overrightarrow{HJ}$ ont un produit scalaire nul donc ils sont orthogonaux et par conséquent les droites $(HI)$ et $(HJ)$ sont perpendiculaires.

Je poursuivrai plus tard.

[Job]

2) Le repère $(A,\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ est un repère orthonormé.

$A\ :\ (0,0)\ ;\ B\ :\ (a,0)\ ;\ C\ :\ (0, b)\ ;\ I\ :\ (\frac{1}{2}a, 0)\ ;\ J\ :\ (0,\frac{1}{2}b)$

Soit $(x,y)$ les coordonnées de $H$
$\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires donc $\frac{x-a}{0-a}=\frac{y-0}{b-0}$ soit $bx+ay-ab=0$
$\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux donc $x(0-a)+y(b-0)=0$ soit $-ax+by=0$
La résolution du système formé par les 2 équations donne $(x,y)=(\frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2})$

$\overrightarrow{HI}\ :\ (\frac{a^3-ab^2}{2(a^2+b^2)}, -\frac{a^2b}{a^2+b^2})$ et $\overrightarrow{HJ}\ :\ (-\frac{ab^2}{a^2+b^2} , \frac{b^3-a^2b}{2(a^2+b^2)})$
On calcule le produit scalaire de ces 2 vecteurs, on trouve 0 donc les vecteurs sont orthogonaux.

3) Le cercle (C)0 a pour diamètre $[IJ]$
Par le théorème sur la droite des milieux, $(KJ)$ est parallèle à $(AB)$ et $(KI)$ est parallèle à $(AC)$ donc le triangle $KIJ$ est rectangle en $K$ et par conséquent $K$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$.
De même le triangle $IHJ$ est rectangle en $H$ donc $H$ appartient à $(C)$

4) $HI=\sqrt{\frac{a^2(a^2-b^2)^2}{4(a^2+b^2)^2}+\frac{a^4b^2}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt{\frac{a^2(a^4+4a^2b^2+b^4)}{4(a^2+b^2)^2}}=\sqrt{\frac{a^2(a^2+b^2)^2}{4(a^2+b^2)^2}}=\frac{a}{2}$
Ou, beaucoup plus simplement, le triangle $AHI$ étant rectangle en $H$ et $I$ le milieu de l'hypoténuse $[AB]$, $hi=\frac{AB}{2} =\frac{a}{2}$
De même $HJ=\frac{b}{2}$
Théorème de Pythagore : $IJ^2=IA^2+AJ^2=\frac{a^2+b^2}{4}$ , $IJ=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$.
On peut retrouver ainsi que la triangle $HIJ$ est rectangle en $H$.