Sommets d'une courbe

Aide au niveau première.
Jesc
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Sommets d'une courbe

Message par Jesc » 12 avril 2018, 17:52

Bonjour,
Voilà maintenant plusieurs heures que j'essaye d'essayer de trouver les abscisses des sommets de la courbe ''sinus cardinal''(f(x)) ayant pour équation y= $\frac{sin(x)}{x}$ et pour forme dérivée : f'(x)= $\frac{cos((x)}{x}$ - $\frac{sin((x)}{x²}$
Du coup, pour trouver les abscisses des sommets de la courbe, j'ai essayé de résoudre : f'(x)=0
Mais je n'arrive pas à résoudre.... Je n'arrive pas à trouver les valeurs de x ou la courbe a une tangente nulle = sommet
Est ce quelqu'un pourrait m'aider dans cette partie d'exercice svp ? Merci d'avance pour vos commentaires et votre aide !

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Job
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Re: Sommets d'une courbe

Message par Job » 13 avril 2018, 10:00

Bonjour

D'après votre texte, je pense que cette question fait partie d'un problème, en particulier est-elle définie sur ${\mathbb R}^*$ ou simplement sur un intervalle ?

$f'(x)=\frac{x\cos x -\sin x}{x^2}$. Donc il s'agit de résoudre l'équation $x\cos x -\sin x=0$, soit encore sur tout intervalle où $\cos x \neq 0$, l'équation $\frac{\sin x}{\cos x }=x$

Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=\frac{\sin x}{\cos x}-x$ lorsque $\cos x \neq 0$ soit $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$
$g'(x)=\frac{\cos^2 x +\sin^2 x}{\cos^2 x }-1=1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-1=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ (=$\tan^2 x$ si vous avez vu la fonction $\tan$)
La fonction dérivée $g'$ est donc toujours positive.

Sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2}[$, $g$ est donc continue et strictement croissante. $g(0)=0$. 0 est donc la seule valeur de $x$ sur cet intervalle telle que $g(x)=0$ mais $f$ n'est pas définie en 0.

Sur l'intervalle $]\frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}[\ ,\ g$ est continue strictement croissante.
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+} g(x)= -\infty$ et $\lim_{x\to \frac{3\pi}{2}^-}g(x)=+\infty$
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une valeur de $x$ et une seule $\alpha$ telle que $g(x)=0$ sur cet intervalle et on a alors $f'(\alpha)=0$ donc un sommet de la courbe représentative de $f$
Mais on ne peut avoir q'une valeur approchée de $\alpha$

On peut faire le même raisonnement sur tous les intervalles de la forme $]\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+(k+1)\pi[$

Pour plus de précision, il faudrait que je connaisse le texte exact de l'exercice

Jesc
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Re: Sommets d'une courbe

Message par Jesc » 13 avril 2018, 16:39

Bonjour,
merci beaucoup pour votre réponse riche d'éléments qui me confirment ce que j'avais déjà commencer à réaliser... Toutefois, la consigne est de ''trouver pour quelles abscisses f(x)=sinus cardinal s'annule sur R+''
Je tiens toutefois préciser que je n'ai pas vu le théorème des valeurs intermédiaires, je ne vois donc pas comment l'utiliser à mes fins pour trouver les abscisses sur les divers intervalles ou se définissent les sommets de la courbe f(x)..
Cordialement.

Jesc
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Re: Sommets d'une courbe

Message par Jesc » 13 avril 2018, 16:48

Mais je voudrais savoir , en définisant le fonction g(x)=xcosx−sinx équivaut à cos(x)= $\frac{sin(x)}{x}$ on peut chercher les abscisses des points d'intersections des courbes représentatives de sinus cardinal et cos(x), mais le problème que je me demande, si c'est possible de résoudre ce genre d'équation?

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Job
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Re: Sommets d'une courbe

Message par Job » 13 avril 2018, 17:06

Jesc a écrit :Mais je voudrais savoir , en définisant le fonction g(x)=xcosx−sinx équivaut à cos(x)= $\frac{sin(x)}{x}$ on peut chercher les abscisses des points d'intersections des courbes représentatives de sinus cardinal et cos(x), mais le problème que je me demande, si c'est possible de résoudre ce genre d'équation?
Il n'y a pas de méthode de résolution d'une telle équation sinon se ramener à des études de fonctions comme je l'ai fait.

Tu peux vois la représentation de la fonction sinus cardinal sur wikipedia sinus cardinal. On voit que les sommets ne correspondent pas à des valeurs remarquables. On ne peut obtenir que des valeurs approchées.

Les propriétés intéressantes ne sont pas très accessibles au niveau Première.

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