Proba + fonction

Aide au niveau première.
nico033
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Proba + fonction

Message par nico033 » 26 février 2018, 18:38

Bonsoir Job

Pourriez vous m’aider à résoudre mon problème facultatif .. en vous remerciant
Voici le sujet

nico033
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Re: Proba + fonction

Message par nico033 » 26 février 2018, 21:12

Bonsoir Job;

Une urne contient 5 boules rouges, 4 boules jaunes, et n boules vertes avec n appartement IN
exprimer en fonction de les proba des évènements suivants
M: les deux boules ont la meme couleur
D: le deux boules ont des couleurs différentes

On considere le jeu suivant: on gagne 2 euros si les boules ont la meme couleur et on perd 3 euros sinon
On note X la v.a associée au gain en euros
montrer que E(X) = 2(n^2-27n-19) / (n+9)^2
Justifier que -3 < ou égal E(X) < ou égal à 2

Pour quelles valeurs de n, E(X) est elle positive ?
Pour quelles valeurs de n E(X) est elle minimale ? Quel est alors l'écart type?

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Job
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Re: Proba + fonction

Message par Job » 27 février 2018, 16:27

Bonjour nico

J'ai un peu joué aux devinettes car tu n'as pas précisé les conditions du tirage, d'après le résultat de l'espérance, j'en ai déduit qu'on tire 2 boules l'une après l'autre avec remise.

Il y a au total $(9+n)$ boules.
On suppose les boules différentiées. Pour chacun des 2 tirages, il y a donc $(n+9)$ possibilités donc le nombre de tirages possibles est $(n+9)^2$
Les 2 boules peuvent être rouges ou jaunes ou vertes donc $Card (M)=5^2+4^2+n^2=n^2+41$
Donc $p(M)=\frac{n^2+41}{(n+9)^2}$

$D$ est l'événement contraire de $M$ donc $p(D)=1-\frac{n^2+41}{(n+9)^2}=\frac{(n+9)^2-(n^2+41)}{(n+9)^2}=\frac{18n+40}{(n+9)^2}$

$E(X)=2\times p(M)+(-3)\times P(D)=\frac{2(n^2+41)+(-3)(18n+40)}{(n+9)^2}=\frac{2n^2-54n-38}{(n+9)^2}=\frac{2(n^2-27n-19)}{(n+9)^2}$

$E(X)+3=\frac{2(n^2-27n-19)}{(n+9)^2}+3=\frac{2n^2-54n-38+(3n^2+54n+243)}{(n+9)^2}=\frac{5n^2+205}{(n+9)^2}\geq 0$ donc $E(X)\geq -3$

$E(X)-2=\frac{2n^2-54n-38}{n+9)^2}-2=\frac{2n^2-54n-38-2n^2-36n-162}{(n+9)^2}=\frac{-90n-200}{(n+9)^2}\leq 0$ donc $E(X)\leq 2$

$E(X)$ a le signe de $n^2-27n-19$. On cherche les racines de ce trinôme. On obtient $\frac{27-\sqrt{805}}{2}\simeq -0,69$ et $\frac{27+\sqrt{805}}{2}\simeq 27,69$.
En utilisant la règle sur le signe du trinôme et compte tenu que $n$ est un entier naturel, $E(X)\geq 0$ si $n\geq 28$

Soit la fonction définie sur ${\mathbb R}^+$ par $f(x)=\frac{x^2-27x-19}{(x+9)^2}$
$f'(x)=\frac{(2x-27)(x+9)^2-2(x+9)(x^2-27x-19)}{(x+9)^4)}=\frac{(x+9)[(2x-27)(x+9)-2(x^2-27x-19)]}{(x+9)^4}$
$f'(x)=\frac{(2x^2+18x-27x-243)-(2x^2-54x-38)}{(x+9)^3}=\frac{45x-205}{(x+9)^3}=\frac{5(9x-41)}{(x+9)^2}$
Sur $[0,\frac{41}{9}[,\ f'(x)<0$ donc $f$ est décroissante et sur $]\frac{41}{9}, +\infty[,\ f(x)>0$ donc $f$ est croissante.
$f$ est donc minimale pour $x=\frac{41}{9}$

Étant donné que $n$ est un entier, on regarde les valeurs de espérance pour $n$ entier proche de $\frac{41}{9}$
Pour $n=4,\ E(X)=-\frac{222}{169}\simeq -1,314$ et pour $n=5,\ E(X)=-\frac{258}{196}\simeq-1,316$

Pour $n=4$, $E(X^2)=4\times\frac{57}{169}+9\times \frac{112}{169}=\frac{1236}{169}$
$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{1236}{169}-(\frac{222}{169})^2=\frac{208662}{169^2}\simeq 7,3$
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\simeq 2,7$

Derniers calculs à vérifier.

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