Translation linéaire d'une série statistique

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Jon83
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Translation linéaire d'une série statistique

Message par Jon83 » 11 janvier 2018, 14:45

Bonjour à tous!
On part d'une série statistique (Xi) et on construit une nouvelle série (Yi) par une translation linéaire de la forme Yi=aXi+b.
Connaissant l’écart interquartile, la moyenne , la variance et l'écart type de la série (Xi), comment en déduire ceux de la série (Yi)

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Job
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Re: Translation linéaire d'une série statistique

Message par Job » 11 janvier 2018, 16:37

Bonjour

1) $Q'_1=aQ_1+b$ et $Q'_3=aQ_3+b$
Si $a>0,\ Q'_3-Q'_1=a(Q_3-Q_1)$
Si $a<0$, pour la nouvelle série le premier quartile est $Q'_3$ et le troisième est $Q'_1$
$Q'_1-Q'_3=a(Q_1-Q_3)=-a(Q_3-Q_1)$
L'écart interquartile est donc multiplié par $|a|$.

2) $\bar Y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(aX_i+b)= \frac{1}{n}[a\sum_{i=1}^n X_i+nb]=a\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} +b =a\bar X +b$

3) $Var Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar Y)^2$
$Y_i-\bar Y =(aX_i +b)-(a\bar X+b)=a(X_i-\bar X)$
Donc $Var Y =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a^2(X_i-\bar X)^2=a^2\times (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2)=a^2 Var X$

4) En passant à la racine on en déduit $\sigma_Y=|a| \sigma_X$

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