Fonction 1erS

[dede1234]

Bonjour voici l'énoncé,j'aimerais que vous corigez ou il y a une erreur :

Sur l'écran vidéo que montre la figure ci-contre,
on peut voir des avions qui descendent de gauche
à droite en suivant la trajectoire indiquée et qui
tirent au rayon laser selon la tangente à leur
trajectoire en direction des cibles placées sur l'axe
(Ox) aux abscisses 1 , 2, 3 et 4. On appelle f la
fonction représentant la trajectoire de l’avion
1) Pour atteindre la cible 4, l'avion doit se trouver
au point de coordonnées (1 ; 3) .
a) Donner à partir du graphique une valeur de
f’(1) .
b) En déduire une équation de la tangente au
point d'abscisse 1.
2) On sait que pour tout x>0, f (x)=$\frac{1}{x}$+2
a) Calculer f’ (x).
b) Soit a un réel strictement positif. Donner l’équation de la tangente à f en a.
c) Déterminer la position de l'avion pour que le rayon laser atteigne la cible 2.

[Job]

Bonjour

2. b) La tangente a comme coefficient directeur le nombre dérivé en $a$ soit $-\frac{1}{a^2}$.
Donc elle a une équation de la forme $y=-\frac{1}{a^2} x +b$
Elle passe par le point de coordonnées $(a, \frac{1}{a}+2)$. Donc $\frac{1}{a}+2=-\frac{1}{a^2}\times a +b$
$b=\frac{1}{a}+2+\frac{1}{a}=\frac{2}{a}+2$

Équation de la tangente : $y=-\frac{1}{a^2} x +\frac{2}{a}+2$

2. c) La tangente passe par le point de coordonnées (1,3) si : $3=-\frac{1}{a^2}\times 1 +\frac{2}{a}+2$
$\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a}+1=0$
En multipliant par $a^2$ : $1-2a+a^2=0$ soit $(a-1)^2=0$ donc $a=1$

[dede1234]

Pour la 2.b) j'ai fait ça:

[Job]

Pour la 2.b) j'ai fait ça:

2.b)equation d'une tangente:f(x)=f(a)+(x-a)*f'(a)
f(a)=$\frac{1}{a}$+2 et f'(a)=$\frac{-1}{a^2}$
La tangente à f en a à pour équation:
f(x)=$\frac{1}{a}$+2+(x-a)*$\frac{-1}{a^2}$
f(x)=$\frac{1}{a}$+2+$\frac{-1}{a^2}$*x+$\frac{1}{a}$
f(x)=$\frac{-1}{a^2}$*x+$\frac{2}{a}$+2

Je pense que c'est possible de faire comme ça mais je ne suis pas sur.

C'est tout à fait juste, je ne savais pas si tu avais vu la forme générale en cours.

Mais par contre pour le 2.c) je pense que la réponse que vous avez mis n'est pas bonne car je ne vous ait pas fourni l'image pour visualiser l'exercice.

Il faut que la tangente passe par le point (2,0) soit $0=-\frac{1}{a^2}\times 2 +\frac{2}{a} +2$
Soit $0=-2+2a+2a^2$ et en simplifiant par 2 : $a^2+a-1=0$
On résout l'équation ; $a_1=\frac{-1-\sqrt 5}{2}\ ;\ a_2=\frac{-1+\sqrt 5}{2}$
Dans le contexte de l'exercice, la solution $a_1$ n'est pas acceptable donc la solution est $a_2$.

[dede1234]

D'accord merci

[Job]

Le dénominateur n'est pas nul car la fonction n'est pas définie en 0 et une fraction est nulle quand son numérateur est nul.

On peut dire aussi qu'on multiplie les 2 membres de l'égalité par $a^2\neq 0$

[dede1234]

Ah donc le dénominateur ne peut pas être nul(c'est à dire égale à 0) , c'est une valeur interdite.C'est pour cela qu'on met seuleument que le numérateur est égal à 0.
Donc si le quotient est nul alors le numérateur est nul donc on ne doit pas écrire que le dénominateur peut etre egal a 0.

Mais doit on mettre dans notre réponse que la fonction est défini R* ?

[Job]

Ah donc le dénominateur ne peut pas être nul(c'est à dire égale à 0) , c'est une valeur interdite.C'est pour cela qu'on met seuleument que le numérateur est égal à 0.
Donc si le quotient est nul alors le numérateur est nul donc on ne doit pas écrire que le dénominateur peut etre egal a 0.

Mais doit on mettre dans notre réponse que la fonction est défini R* ?

Dans un exercice, le plus souvent, l'ensemble de définition est donné.
Dans le texte de ton exercice, il est écrit "pour tout $x>0$, $f(x)=\frac{1}{x}+2$ donc il est clair que $x$ ne peut pas être nul.
C'est aussi la condition $x>0$ qui permet de ne pas accepter une des solutions trouvées dans la dernière question.

[dede1234]

Par exemple
$\frac{4x^2-2x+2}{5x^2}$=0

[Job]

Ce n'est pas une simplification, c'est une application de la propriété :

Une fraction est nulle si son dénominateur est non nul et son numérateur nul.