déterminer les coordonnées de K dans le repère (B; C; A)

[yann]

Bonsoir Job

ABC est un triangle quelconque

Dans le repère (B; C; A) déterminer les coordonnées des points I, J et K tel que $\overrightarrow{AI}=3/4\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{BJ}=1/3\overrightarrow{BC }$ et $\overrightarrow{AK}=3/5 \overrightarrow{AC}$

1 ) Dans le repère (B; C; A)

donc :

B (0;0)
C (1;0)
A (0;1)

2 ) pour les coordonnées du point J

Si je travaille dans le repère $(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BA})$ et que j'ai $\overrightarrow{BJ}= \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ alors les coordonnées du point J sont $\left(\frac{1}{3};0\right)$
son ordonnée est nulle puisque le point J est situé sur l'axe des abscisses

3 ) pour les coordonnées du point K

je propose de partir de l'égalité vectorielle : $\overrightarrow{AK}= 3/5 \overrightarrow{AC}$

dans le membre de gauche de l'égalité vectorielle : j'introduis le point B avec la relation de Chasles pour transformer la relation en une relation ou le point B apparait dans un vecteur ( en première position )
---> il faut exprimer en fonction de B puisque l'origine du repère est B

ce qui donne :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})-\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}-
\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BK}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$


la base est constitué des vecteurs $(\overrightarrow{BC})$ et $\overrightarrow{BA}$

je dois transformer - $\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ en $\frac{2}{5}\overrightarrow{BA}$

-

[Job]

Bonjour Yann

$\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}-
\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BK}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$


la base est constitué des vecteurs $(\overrightarrow{BC})$ et $\overrightarrow{BA}$

je dois transformer - $\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ en $\frac{2}{5}\overrightarrow{BA}$

-

Une faute d'étourderie ou de recopiage : le vecteur $\overrightarrow{BC}$ est devenu le vecteur $\overrightarrow{AC}$.

Dans le repère $(B,\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA})$ les coordonnées de $K$ sont donc $(\frac{3}{5} , \frac{2}{5})$

[yann]

Bonsoir Job

je décompose le vecteur $\overrightarrow{AK}$
je propose de passer par B
et d'écrire : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

les deux vecteurs de ma base sont $\left\lbrace\begin{matrix}
\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{BA}

\end{matrix}\right.$

il faut donc faire apparaitre le deuxième vecteur de la base
pour se faire :
j'introduis le vecteur BC dans le vecteur $\frac{3}{5} \overrightarrow{AC}$ ( en le décomposant )

j'obtiens $ \overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\right)- \overrightarrow{AB}$

$ \overrightarrow{BK}=\frac{3}{5} \overrightarrow{AB}+\frac{3}{5} \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}$
$ \overrightarrow{BK} =\frac{3}{5} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}+\frac{3}{5} \overrightarrow{BC}$
$ \overrightarrow{BK} = \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} - \frac{5}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{BC}$
$ \overrightarrow{BK} = -\frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$

comme l'origine du repère : il faut donc revoir l'égalité $-\frac{2}{5} \overrightarrow{AB}$ sous une autre forme ??

c'est ( un peu ) ce que j'ai essayé de dire

[yann]

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[Job]

Bonjour

$ \overrightarrow{BK} = -\frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$

comme l'origine du repère : il faut donc revoir l'égalité $-\frac{2}{5} \overrightarrow{AB}$ sous une autre forme ??

c'est ( un peu ) ce que j'ai essayé de dire

Oui, c'est exact $-\frac{2}{5} \overrightarrow {AB}=+\frac{2}{5} \overrightarrow {BA}$ et $\overrightarrow{BK}$ est bien alors exprimé en fonction des vecteurs de la base.