GEOMETRIE PLANE : VECTEURS

[TiGanoir-lacour]

Salut à vous! En ce moment, je fais mes fiches pour m’entraîner au bac. J'ai un exercice de niveau premier dont je ne comprends pas trop. Pourriez-vous m'aider à le comprendre.

Exercice 1:

Soit ABC un triangle du plan et a un nombre réel.
On considère les points P, Q et R définis par le vecteur(AP) = a vecteur(AB), vecteur(CQ) = a vecteur(CA) et vecteur(CR) = a vecteur(BC).
Le problème est de savoir s'il existe des valeurs de a pour lesquelles les points P, Q et R soient alignés.
1) Faire une figure à l'aide du logiciel de géométrie dynamique de l'ordinateur ( geogebra )
2) Emettre une conjecture pour le problème posé
3) Démontrer la conjecture

[Job]

Bonjour

Les points $P,\ Q,\ R$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{QR}$ sont colinéaires.

Dans un plan, 2 vecteurs non colinéaires forment une base de l'ensemble des vecteurs du plan, c'est-à-dire que tous les vecteurs peuvent s'exprimer de manière unique en fonction des 2 vecteurs de la base. Je choisis comme base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}=-a\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-a\overrightarrow{AC}=-a\overrightarrow{AB}+(1-a)\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CR}=a\overrightarrow{AC}+a(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=-a\overrightarrow{AB}+2a\overrightarrow{AC}$

Les vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{QR}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{QR}=k\overrightarrow{PQ}$ soit $-a\overrightarrow{AB}+2a\overrightarrow{AC}=k(-a\overrightarrow{AB}+(1-a)\overrightarrow{AC})=-ka\overrightarrow{AB}+k(1-a)\overrightarrow{AC}$

On doit donc avoir : $\left\{\begin{array}{rcl}-ka&=&-a\\k(1-a)&=&2a\end{array}\right.$
Donc en considérant $a$ non nul $k=1$ et $1-a=2a$ soit $a=\frac{1}{3}$

Les points $P,\ Q,\ R$ sont alignés si et seulement si $a=\frac{1}{3}$

[TiGanoir-lacour]

Merci bien pour l'aide. Ce n'était pas aussi facile que je le croyais. Je comprends mieux maintenant.

A bientôt! Mr. Le professeur........