Bonjour Job;
Nous avons un devoir de recherche à prise d'initiatives , pourriez vous m'aider svp à le résoudre
soient A et P deux nombres réels positifs fixés
combien existe t'il de rectangles dont l'aire est A mètre^2 et le périmètre est P mètre?
devoir : recherche
Re: devoir : recherche
Bonjour
Si $x$ et $y$ sont les dimensions du rectangle, on doit avoir $\left\{\begin{array}{rcl}2x+2y&=&P\\xy&=&A\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}y=\frac{P}{2}-x\\ x(\frac{P}{2}-x)=A\end{array}\right.$
$x^2-\frac{P}{2} x +A=0$
(On arrive à la même équation d'inconnue $y$)
Il faut donc que l'équation admette des solutions positives.
$\Delta =(\frac{P}{2})^2-4A=\frac{P^2-16A}{4}=\frac{(P+4\sqrt A)(P-4\sqrt A)}{4}$
$P$ et $A$ sont positifs donc $P+4\sqrt A>0$. Le discriminant est du signe de $P-4\sqrt A$
Si $P<4\sqrt A$, le problème n'a pas de solution
Si $P>4\sqrt A$ l'équation admet 2 solutions distinctes qui sont positives car leur produit et leur somme sont positives.
On obtient donc un rectangle.
Si $P=4\sqrt A$ l'équation admet une racine double $= \frac{P}{4}$ donc on obtient un carré.
Si $x$ et $y$ sont les dimensions du rectangle, on doit avoir $\left\{\begin{array}{rcl}2x+2y&=&P\\xy&=&A\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}y=\frac{P}{2}-x\\ x(\frac{P}{2}-x)=A\end{array}\right.$
$x^2-\frac{P}{2} x +A=0$
(On arrive à la même équation d'inconnue $y$)
Il faut donc que l'équation admette des solutions positives.
$\Delta =(\frac{P}{2})^2-4A=\frac{P^2-16A}{4}=\frac{(P+4\sqrt A)(P-4\sqrt A)}{4}$
$P$ et $A$ sont positifs donc $P+4\sqrt A>0$. Le discriminant est du signe de $P-4\sqrt A$
Si $P<4\sqrt A$, le problème n'a pas de solution
Si $P>4\sqrt A$ l'équation admet 2 solutions distinctes qui sont positives car leur produit et leur somme sont positives.
On obtient donc un rectangle.
Si $P=4\sqrt A$ l'équation admet une racine double $= \frac{P}{4}$ donc on obtient un carré.