ligne de niveau

[syne1]

Bonsoir , je cherche de l'aide pour cet exercice.
MERCI D'AVANCE

[Job]

Bonjour

1) a) $ 3 \overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$
$3\overrightarrow{IC}-2(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ soit $\overrightarrow{CI}=-2\overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}-2\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$
Soit, en utilisant le point $I$ : $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{0}$
Donc $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{BA}$

b) $ADI$ est un triangle rectangle en $D$ avec $DI =DC+CI=3DC=6$
En utilisant le théorème de Pythagore : $AI^2 =8^2+6^2=100$ don $AI =10$

2) a) $3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}=3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID})=\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$
Donc $f(M)=(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MI})\cdot \overrightarrow{AI}$

b) $f(A)=(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI})\cdot \overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AI}^2$
En projetant $\overrightarrow{AI}$ sur $\overrightarrow{AB}$ on a $-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI} =-\overline{AB}\times \overline{AI'}=-2\times 6 =-12$
$f(A)=-12+100=88$

$f(G)=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{GI}\cdot \overrightarrow{AI}$
En projetant $\overrightarrow{AI}$ sur $\overrightarrow{GI}$ : $\overrightarrow{GI}\cdot \overrightarrow{AI}=\overline {GI}\times \overline{DI}=2\times6=12$
Donc $f(G)=-12+12=0$

c) En utilisant le résultat établi en b) : $f(M)=-12+\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{AI}$
$f(M)=-12 \Longleftrightarrow \overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{AI}=0$ donc l'ensemble des points $M$ est la droite passant par $I$ et perpendiculaire à $(AI)$

$f(M)=8\Longleftrightarrow \overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{AI}=20$
Soit $H$ le projeté de $M$ sur $(AI)$, $\overline{HI}\times \overline {AI}=20$
En orientant $(AI)$ de $A$ vers $I$, $\overline{HI}\times 10 =20$ soit $\overline{HI}=2$, ce qui permet de placer le point $H$ et l'ensemble des points $M$ est la droite perpendiculaire en $H$ à $(AI)$.

$f(M)=-22\Longleftrightarrow \overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{AI}=-10$ et on fait le même raisonnement que précédemment.

[Job]

3) Une erreur dans le texte : le dernier vecteur est $\overrightarrow{MC}$
a) En introduisant le point $G$ dans chacun des vecteurs et compte tenu de la définition de $G$ on obtient que :
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}=(1-1+3-2)\overrightarrow{MG}$
D'où $g(M)=\overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{MC}$

$J$ étant le milieu de $[CG]$,
$\overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MJ}-\frac{1}{2} \overrightarrow{GC})\cdot (\overrightarrow{MJ}+\frac{1}{2} \overrightarrow{GC})=MJ^2-\frac{1}{4} GC^2$

b1) $g(M)=MJ^2-\frac{1}{4}\times 2^2=MJ^2-1$
$MJ^2-1=k\Longleftrightarrow mJ^2=k+1$
* Si $k<-1$ alors $k+1<0$ donc le problème n'a pas de solution.
* Si $k=-1$ alors $E_{-1}$ est réduit au point $J$
* Si $k>-1$ alors $E_k$ est un cercle de centre $J$ et de rayon $\sqrt{k+1}$

b2) $E_0$ est le cercle de centre $J$ et de rayon 1, il passe par $G$ et $C$.

b3) $E_k$ passe par $I$ si le rayon est égal à $JI=3$.
$\sqrt{k+1}=3\Longleftrightarrow k=8$