DM produit scalaire

[yann]

Bonsoir Job,

ABCD est un carré de centre 0 et de coté 1
E est un point de [AC] distinct de A et de C
P et Q sont les projetés orthonormaux de E sur AD et CD

on étudie la position des droites (BQ) et (CP)


méthode 1 : avec le repère
on se place dans (A;AB;AD)
on note x l ' abscisse du point E
- déterminer les coordonnées des points E , P , Q

- calculer le produit scalaire BQ.CP

méthode 2 : en utilisant les propriétés du produit scalaire
-démontrer que $(\overrightarrow{BC} .\overrightarrow{CP} = -\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DP} + \overrightarrow{CQ} +\overrightarrow{CD}$
méthode 3 : en utilisant les angles orientés

- calculer l'angle ( BQ , BC)
- montrer que (BQ ; BC ) = -(CD ; CP)

je décompose les vecteurs BQ et BC

$ (\overrightarrow{BQ}.\overrightarrow{CP} )= (\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}) + (\overrightarrow{DP})$
$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DP}$
$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$

pour déterminer les coordonnées des points E , P et Q
comme x est l 'abscisse du point E
Q ( x ,?)
P ( ? , 0)
E ( x , ? )

peux tu m'aidez ? s 'il te plait

[Job]

Bonjour

Méthode 1

Dans le repère $(A, \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$, le point $C$ a pour coordonnées (1 , 1) donc la droite $(AC)$ a pour équation $y=x$.
Par conséquent le point $E$ a pour coordonnées $(x,x)$, le point $P$ a pour coordonnées $(0 , x)$ et le point $Q$ a pour coordonnées $(x,1)$
Coordonnées de $\overrightarrow{BQ}\ ;\ (x-1,1-0)$
Coordonnées de $\overrightarrow{CP}\ ;\ (0-1,x-1)=(-1,x-1)$
$\overrightarrow{BQ}\cdot\overrightarrow{CP}=(x-1)\times (-1)+1\times (x-1)=0$ donc les vecteurs sont orthogonaux.

Méthode 2

On décompose en utilisant les côtés du carré.
$\overrightarrow{BQ}\cdot\overrightarrow{CP}=(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CQ})\cdot (\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DP})$
$=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DP} +\overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{DP}=0+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DP}+\overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{CD}+0$

$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DP}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DP}=-AD \times DP$ (vecteurs colinéaires et de sens contraire)
$\overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{CD}=CQ\times CD$ (vecteurs colinéaires et de même sens)
Or $AD=CD$ et $DP=EQ=CQ$ donc les produits scalaires précédents sont opposés et leur somme est donc nulle.

[Job]

Méthode 3

Les triangles rectangles $CBQ$ et $DCP$ sont isométriques car $CB=DC$ et $CQ=CD-DQ=AD-AP=DP$ donc les angles géométriques $\widehat{CBQ}$ et $\widehat{DCP}$ sont égaux et compte tenu de l'orientation : $(\overrightarrow{BQ},\overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CD})=-(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CP})$

On a alors : $(\overrightarrow {BQ},\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{BQ},\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD})+(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD})=\frac{\pi}{2}$