Bonsoir Job;
L'exercice sur les proba que j'ai totalement raté;
Une urne contient 1 boule blanche et 3 boules noires
Une partie consiste à tirer au hasard et avec remise successive trois boules de l'urnes
A chaque fois que la boule tirée est blanche le coeur reçoit 3 euros , et à chaque fois que la boule tirée est noire le coeur perd 1,5 euros
X est la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du coeur à la fin d'une partie
Faire un arbre pondérée avec les événements B et N et indiquer les valeurs de X
Etablir ainsi la loi de proba de X
Calculer E(X) ; interpréter le résultat
que peut on espérer si un joueur joue 200 parties ?
Combien devrait payer un jouer à chaque fois qu'une boule noire est tirée, pour que le jeu soit équitable ?
proba
Re: proba
Bonjour Nico033
L'arbre fair apparaître 8 cas. D'autre part $P(B)=\frac{1}{4}$ et $P(N)=\frac{3}{4}$
Dans un cas, on a tiré 3 fois la boule boule blanche $X=9$ et $P(X=9)=(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$
Dans 3 des cas, on a tiré 2 fois la boule blanche et une fois la boule noire donc $X=6-1,5=4,5$ et $P(X=4,5)=3\times(\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4}=\frac{9}{64}$
Dans 3 des cas, on a tiré une fois la boule blanche et 2 fois une boule noire donc $X=3+2\times (-1,5)=0$ et $P(X=0)=3\times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^2 =\frac{27}{64}$
Dans un cas on a tiré 3 fois une boule noire donc $X=3\times (-1,5)=-4,5$ et $P(X=-4,5)=(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}$
$E(X)=9\times \frac{1}{64}+4,5\times \frac{9}{64}+0\times \frac{27}{64}+(-4,5)\times \frac{27}{64}=-\frac{72}{64}=-\frac{9}{8}$
Le jeu n'est donc pas équitable.
En jouant 200 parties, le joueur peut "espérer" perdre $200\times \frac{9}{8}=225$
Pour la seconde partie, or reprend les calculs en remplaçant (-1,5) par $x$ et on doit avoir $E(X)=0$
L'arbre fair apparaître 8 cas. D'autre part $P(B)=\frac{1}{4}$ et $P(N)=\frac{3}{4}$
Dans un cas, on a tiré 3 fois la boule boule blanche $X=9$ et $P(X=9)=(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$
Dans 3 des cas, on a tiré 2 fois la boule blanche et une fois la boule noire donc $X=6-1,5=4,5$ et $P(X=4,5)=3\times(\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4}=\frac{9}{64}$
Dans 3 des cas, on a tiré une fois la boule blanche et 2 fois une boule noire donc $X=3+2\times (-1,5)=0$ et $P(X=0)=3\times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^2 =\frac{27}{64}$
Dans un cas on a tiré 3 fois une boule noire donc $X=3\times (-1,5)=-4,5$ et $P(X=-4,5)=(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}$
$E(X)=9\times \frac{1}{64}+4,5\times \frac{9}{64}+0\times \frac{27}{64}+(-4,5)\times \frac{27}{64}=-\frac{72}{64}=-\frac{9}{8}$
Le jeu n'est donc pas équitable.
En jouant 200 parties, le joueur peut "espérer" perdre $200\times \frac{9}{8}=225$
Pour la seconde partie, or reprend les calculs en remplaçant (-1,5) par $x$ et on doit avoir $E(X)=0$