triangle isocèle dans un cercle trigonométrique

[yann]

Bonsoir Job

Peux tu m'aider pour cet exercice ? s'il te plait
A et B sont deux points du plan associés aux réels $\frac{\pi}{4} $ et $\frac{2\pi}{3}$

Déterminer les points du cercle tel que ABM soit isocèle

en utilisant le repère trigonométrique , dans ce repère , les coordonnées du point A sont ($ \frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2} $)
$ sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
et $ sin\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $
on applique la propriété $ sin ( \pi - x ) = sin x $
c'est bien cela ?

et celles de B sont ($-\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2}$)

Les points M que je cherche , sont alors les points qui vérifient :
AM = MB si le triangle AMB est isocèle en M
il y a donc deux solutions avec le M au dessus de la corde AB
et M en dessous de la corde AB

[Job]

Bonjour

Les 2 points sont diamétralement opposés.
On prend d'abord le point $M$ situé au-dessus de la corde $[AB]$. Puisque le triangle $AMB$ est isocèle, las arcs $MA$ et $MB$ sont égaux donc $[OM)$ est la bissectrice de $([OA),[OB))$.
Le point $M$ est donc associé à $\frac{\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}}{2}=\frac{\frac{3\pi+8\pi}{12}}{2}=\frac{11\pi}{24}$

Le second point étant diamétralement opposé est associé à $\frac{11\pi}{24}-\pi=-\frac{13\pi}{24}$

[yann]

Bonjour Job

merci de m'avoir répondu

Pourquoi dis tu : les arcs MA et MB et pas les distances MA et MB ??

[Job]

Les deux sont vrais, 2 cordes égales sous-tendent 2 arcs égaux.

[yann]

Je n'ai pas bien compris la notion d'Arcs

peux tu m'expliquer ?

[yann]

Je confonds l'angle et l'Arc
je n'ai pas bien écouté en cours

[Job]

Un arc de cercle est simplement une portion de cercle.

Une autre manière de raisonner : on considère les triangles $OAM$et $OBM$. On a $OA=OB=OM$ et $MA=MB$ donc les 2 triangles sont isométriques et par conséquent $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$

[yann]

Bonsoir Job

je considère le triangle OAB
l ' angle $ ( \overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB} = ( \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OB } ) - ( \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OA})$
$ = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

le triangle IOA est isocèle de sommet M car OA = OB = 1 ( rayon du cercle Trigo )
AB étant une corde , un point M du cercle est tel que le triangle AMB est isocèle avec AM = MB
donc la bissectrice de l' angle $ (\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB} ) $ est la hauteur de OAB et également le milieu de [AB] donc coupe le cercle en deux points diamétralement opposé , j ' appelle ces points , C et D

calcul de l 'angle $ ( \overrightarrow{OA} ;\overrightarrow{OC}) $
$ (\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OC} )= \frac{(\overrightarrow{OA} ;\overrightarrow{OB}) }{2} = \frac{\frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{12}}{\frac{2}{1}} = \frac{5\pi}{12} * \frac{1}{2} = \frac{5\pi}{24}$
on multiplie les dénominateurs ( je le rappelle mais en DS , je ne l'indique pas )

calcul de l 'angle $ ( \overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC} )= (\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA} )+ (\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OC} ) $
$ = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} + \frac{5\pi}{24} = \frac{11\pi}{24}$

maintenant , le triangle ABD isocèle en D
je fais la somme de l'angle $ ( \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OC} ) + \pi $
$ (\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OD} ) = \frac{11\pi}{24} + \pi = \frac{11\pi}{24} + \frac{24\pi}{24} = \frac{35\pi }{24}$

il y a une autre façon en faisant l 'angle avec une valeur négative
peux tu me donner quelques indices ( sans la réponse ) s 'il te plait