Bonsoir ;
Je n'arrive pas à faire mon exercice depuis quelques heures ; pourriez vous m'aider à le résoudre svp (merci par avance);
ABC est un triangle tel que AB = 3, AC = 4 et BC = 5
M est un point de BC. Les perpendiculaires en M aux cotés AB et AC coupent ces cotés respectivement en P et Q
Ou peut on placer le point M afin que la distance PQ soit minimale ?
problème ouvert
Re: problème ouvert
Bonjour
D'abord on montre que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (Pythagore)
On pose $BM=x$.
$(MP)$ est parallèle à $(AC)$ donc avec le théorème de Thalès : $\frac{AP}{AB} = \frac{CM}{CB}$ donc $\frac{AP}{3} = \frac{5-x}{5}$ soit $AP=\frac{3}{5} (5-x)$
$(MQ)$ est parallèle à $(AB)$ donc $\frac{AQ}{AC}=\frac{BM}{BC}$ soit $\frac{AQ}{4} =\frac{x}{5}$ donc $AQ=\frac{4}{5} x$
La distance $PQ$ est minimale si $PQ^2$ est minimal.
$PQ^2=AP^2+AQ^2 =\frac{9}{25} (5-x)^2+\frac{16}{25} x^2=x^2-\frac{18}{5} x +9$
Vous avez donc à chercher la valeur de $x$ pour laquelle ce trinôme a un minimum. (Vous devez trouver $\frac{9}{5}$)
D'abord on montre que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (Pythagore)
On pose $BM=x$.
$(MP)$ est parallèle à $(AC)$ donc avec le théorème de Thalès : $\frac{AP}{AB} = \frac{CM}{CB}$ donc $\frac{AP}{3} = \frac{5-x}{5}$ soit $AP=\frac{3}{5} (5-x)$
$(MQ)$ est parallèle à $(AB)$ donc $\frac{AQ}{AC}=\frac{BM}{BC}$ soit $\frac{AQ}{4} =\frac{x}{5}$ donc $AQ=\frac{4}{5} x$
La distance $PQ$ est minimale si $PQ^2$ est minimal.
$PQ^2=AP^2+AQ^2 =\frac{9}{25} (5-x)^2+\frac{16}{25} x^2=x^2-\frac{18}{5} x +9$
Vous avez donc à chercher la valeur de $x$ pour laquelle ce trinôme a un minimum. (Vous devez trouver $\frac{9}{5}$)