produit scalaire
produit scalaire
Bonsoir, je cherche de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE
- Pièces jointes
-
- PROD SCAL.pdf
- EXO PRODUIT SCALAIRE
- (55.51 Kio) Téléchargé 210 fois
Re: produit scalaire
Bonjour
1) Dans cette question, on utilise beaucoup les projections.
a) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BI}=AB\times BI \times \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BI})=4\times 2 \times \cos \pi =-8$
$\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{JC}=\overrightarrow{IO}\cdot \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IO}^2=4$
b) $\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IJ})=2\overrightarrow{OI}^2+4\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{OI}^2 +4\overrightarrow{OI}\cdot {IO}=-2\overrightarrow{OI}^2=-8$
$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IA})\cdot (\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IC})=\overrightarrow{PI}^2+\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IC}$
$=4+2\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{IJ}+0+\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}=4+2\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{IO}-4=2(-4)=-8$
En utilisant le théorème de Pythagore : $PC^2=6^2+2^2=40$ donc $PC=2\sqrt{10}$
c) (Je suppose que vous avez vu la puissance d'un point par rapport à un cercle)
Le rayon du cercle est égal à $2\sqrt 2$
$\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{PC}=PO^2-(2\sqrt 2)^2=4^2-8=8$
$PR\times 2\sqrt{10}=8$ donc $PR=\frac{8}{2\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$
2) a) $MA^2+MB^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+ (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2$
$=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+ (\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})^2$
$=2MI^2+2IA^2+2\overrightarrow{MI}\cdot (\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IA})=2MI^2+8$
b)$2MC^2+MA^2+MB^2=2(MC^2+MI^2)+8$
Avec un calcul analogue au précédent, $MC^2+MI^2=2MJ^2+(\frac{1}{4}IC^2+\frac{1}{4} IC^2)=2MJ^2+\frac{1}{2}\times (16+4)=2MJ^2+10$
Donc $2MC^2+MA^2+MB^2=2(2MJ^2+10)+8=4MJ^2+28$
c) $4MJ^2+28 +32 $ donc $MJ=1$
L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $J$ et de rayon 1.
3) $2MC^2 -MA^2-MB^2 = 2MC^2-2MI^2-8=2( \overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MI})\cdot (\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MI})-8$
$=2\overrightarrow{IC}\cdot (2\overrightarrow{MJ})-8=4\overrightarrow{IC}\cdot \overrightarrow{MJ}-8$
1) Dans cette question, on utilise beaucoup les projections.
a) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BI}=AB\times BI \times \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BI})=4\times 2 \times \cos \pi =-8$
$\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{JC}=\overrightarrow{IO}\cdot \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IO}^2=4$
b) $\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IJ})=2\overrightarrow{OI}^2+4\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{OI}^2 +4\overrightarrow{OI}\cdot {IO}=-2\overrightarrow{OI}^2=-8$
$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IA})\cdot (\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IC})=\overrightarrow{PI}^2+\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IC}$
$=4+2\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{IJ}+0+\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}=4+2\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{IO}-4=2(-4)=-8$
En utilisant le théorème de Pythagore : $PC^2=6^2+2^2=40$ donc $PC=2\sqrt{10}$
c) (Je suppose que vous avez vu la puissance d'un point par rapport à un cercle)
Le rayon du cercle est égal à $2\sqrt 2$
$\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{PC}=PO^2-(2\sqrt 2)^2=4^2-8=8$
$PR\times 2\sqrt{10}=8$ donc $PR=\frac{8}{2\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$
2) a) $MA^2+MB^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+ (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2$
$=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+ (\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})^2$
$=2MI^2+2IA^2+2\overrightarrow{MI}\cdot (\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IA})=2MI^2+8$
b)$2MC^2+MA^2+MB^2=2(MC^2+MI^2)+8$
Avec un calcul analogue au précédent, $MC^2+MI^2=2MJ^2+(\frac{1}{4}IC^2+\frac{1}{4} IC^2)=2MJ^2+\frac{1}{2}\times (16+4)=2MJ^2+10$
Donc $2MC^2+MA^2+MB^2=2(2MJ^2+10)+8=4MJ^2+28$
c) $4MJ^2+28 +32 $ donc $MJ=1$
L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $J$ et de rayon 1.
3) $2MC^2 -MA^2-MB^2 = 2MC^2-2MI^2-8=2( \overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MI})\cdot (\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MI})-8$
$=2\overrightarrow{IC}\cdot (2\overrightarrow{MJ})-8=4\overrightarrow{IC}\cdot \overrightarrow{MJ}-8$