produit scalaire

[syne1]

Bonsoir, je cherche de l'aide pour la question 3) et 4)
MERCI D'AVANCE

[Job]

Bonjour

Vous pouvez trouver les 2 premières questions sur ce site :
http://mathsetcalculs.perso.neuf.fr/Maths/heron.htm

3) a) Il suffit de développer le second membre de l'égalité demandée et en réduisant, on obtient le premier membre.

b) On développe $(x+y+z)^3 =(x+y+z)(x+y+z)^2$
On obtient : $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+6xyz+3(xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2)$
Soit encore : $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+6xyz+3[x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)]$

D'après la question a), $x,\ y,\ z$ étant des nombres positifs, le second membre de l'égalité est positif donc $x^3+y^3+z^3-3xyz\geq 0$ soit $x^3+y^3+z^3\geq 3xyz$

$y^2+z^2-2yz=(y-z)^2\geq 0$ donc $y^2+z^2\geq 2yz$ et $x(y^2+z^2)\geq 2xyz$
De même pour les autres produits à l'intérieur du crochet donc :
$3[x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)]\geq 3(3\times 2xyz)=18xyz$

Il vient alors : $(x+y+z)^3\geq 3xyz+6xyz+18xyz=27xyz$

4) On utilise la question 3) b) avec $x=p-a,\ y=p-b,\ z=p-c$
$[(p-a)+(p-b)+(p-c)]^3\geq 27(p-a)(p-b)(p-c)$ soit $(3p-2p)^3\geq 27 (p-a)(p-b)(p-c)$
En multipliant les 2 membres de l'inégalité par $p$ : $p^4\geq 27p(p-a)(p-b)(p-c)$

$p(p-a)(p-b)(p-c)\leq \frac{p^4}{27}$ soit $S^2\leq \frac{p^4}{27}$ donc $S\leq \frac{p^2}{3\sqrt 3}$

Si le triangle est équilatéral de côté $a$, en utilisant la question 1) $S=\frac{1}{2} a^2 \sin (\frac{\pi}{3})=\frac{a^2\sqrt 3}{4}$
$p=\frac{3a}{2}$ , $\frac{p^2}{3\sqrt 3}=\frac{9a^2}{4\times 3\sqrt 3}=\frac{3a^2}{4\sqrt 3}=\frac{a^2\sqrt 3}{4}$
Donc on a l'égalité.