Inégalité avec valeur absolue

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AntoinePinaye
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Inégalité avec valeur absolue

Message par AntoinePinaye » 07 novembre 2021, 20:36

Bonsoir.

Comment feriez-vous pour montrer que pour tous réels u, v : |u| + |v| ≤ |u+v| + |u−v|.

Merci

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Job
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Re: Inégalité avec valeur absolue

Message par Job » 08 novembre 2021, 11:03

Bonjour

$u=\frac{1}{2} [(u+v)+(u-v)]$ donc $|u| =\frac{1}{2} |(u+v)+(u-v)|$

La valeur absolue d'une somme est inférieure à la somme des valeurs absolues donc

$|u|\leq \frac{1}{2}\left(|u+v|+|u-v|\right)$ (A)

$v=\frac{1}{2} [(u+v)+(v-u)$ donc $|v|=\frac{1}{2}|(u+v)+(v-u)|$

$|v|\leq \frac{1}{2}\left(|u+v|+|v-u|\right)=\frac{1}{2}\left( |u+v| +|u-v|\right)$ (B)
car 2 nombres opposés ont même valeur absolue.

En additionnant membre à membre les inégalités (A) et (B) on obtient :
$|u|+|v| \leq |u+v|+|u-v|$

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