DM - Équation de cercle

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Nathaaan30
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DM - Équation de cercle

Message par Nathaaan30 » 26 mai 2021, 21:16

Bonsoir,

J’ai aujourd’hui reçu un DM qui porte sur les équations de cercle, le problème étant que je n’ai eu qu’une seule séance de math sur ce chapitre et que je ne comprends donc strictement rien au question. Impossible de contacter mon professeur je m’en remet donc à vous :

J’ai réussi sans trop de problème la question 1) mais je suis totalement bloqué à la 2) et pour la suite, je ne comprends même pas la question.

On donne le cercle C dont l’équation est :
𝑥² + 𝑦² − 10𝑦 + 20 = 0
On s’intéresse au nombre de points d’intersection du cercle C avec les droites d’équation 𝑦 = 2𝑥 + 𝑘 où 𝑘 ∈ R.
1. Mettre l’équation du cercle sous la forme (𝑥 − 𝑥₁)² + (𝑦 − 𝑦₁ ² ) = 𝑟² et donner les coordonnées du centre de ce cercle ainsi que son rayon.
2. Faire une figure et émettre une conjecture sur le nombre de solutions en fonction du paramètre k.
3. Nous allons démontrer ce résultat.
a. Dans l’équation de C, remplacer y par 2𝑥 + 𝑘. b. Montrer alors que l’équation peut s’écrire :
5(𝑥 + (2/5) 𝑘 − 2)² + (1/5)𝑘² − 2𝑘 = 0
c. Quelle condition doit-on avoir sur k pour que cette équation ait au moins une solution dans R.
(Vous pourrez vous intéressez à l’équation sous cette forme :
5(𝑥 + (2/5) 𝑘 − 2)² = − (1/5) 𝑘²+ 2𝑘

Toute forme d’aide et la bienvenue, le DM est en pièce jointe.
Merci d’avance à tout ceux qui prendront le temps de m’aider
Pièces jointes
38B75834-269B-4281-93FA-5130EBE69793.jpeg
DM
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Hugo Martin
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Re: DM - Équation de cercle

Message par Hugo Martin » 29 mai 2021, 22:52

Bonjour,

Pour la question 2, on te demande une conjecture donc aucune justification est attendu. Après avoir tracé ton cercle sur un repère, dessine quelques droite de la forme y=2x+k.
En prenant par exemple k = 0, on voit qu'il y a une unique solution. On voit aussi que si k<0, il n'y aura aucune solution, et si k>0, alors il y en aura 2. Attention cependant, si k est assez grand, il y aura pour une valeur de k de nouveau une seule solution puis au delà de cette valeur, il n'y en aura plus également. (Les valeurs pour lesquelles il n'y a qu'une seule solution sont k=0 et k=10)

Pour la suite, on te demande simplement de remplacer y dans l'expression donné, de développer et réduire l'expression. N'hésite pas à développer les deux expressions si la factorisation est trop fastidieuse.

Enfin pour la dernière question, isole x dans l'expression 5(𝑥 + (2/5) 𝑘 − 2)² + (1/5)𝑘² − 2𝑘 = 0, et tu verras apparaître une racine carré normalement. Cependant tu sais que le nombre à l'intérieur de la racine doit être positif, donc à partir de cela tu peux en déduire une condition sur k.

Si jamais quelque chose n'est pas claire, hésite pas!

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