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Bonsoir Initialisation : $a_2=4a_1-a_0$ Hérédité : on suppose l'égalité vérifiée jusqu'au rang $n+2$ donc $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$. $a_{n+3} =\frac{a_{n+2}^2+2}{a_{n+1}}$ soit encore $a_{n+3}a_{n+1} =a_{n+2}^2+2$ En utilisant l'hypothèse de récurrence on a : $a_{n+3}a_{n+1} =a_{n+2}(4a_{n+1} -a_n)+2=4...

On peut faire plus simple pour montrer que les 2 suites ont la même limite. Si on désigne par $l$ et $l'$ les limites respectives des 2 suites, on a l'égalité : $l'=\frac{l+l'}{2}$ ce qui donne immédiatement $l=l'$. J'ajoute : $(u_n)$ étant croissante la limite est supérieure à $a$ et $(v_n)$ étant ...

Bonsoir 1. Par une récurrence immédiate les 2 suites sont définies et strictement positives. $v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\frac{(u_n+v_n)^2}{4} -u_nv_n=\frac{(u_n-v_n)^2}{4}\geq 0$ Donc $\forall n \in {\mathbb N}, v_n\geq u_n$ On en déduit : $u_{n+1}^2 =u_nv_n\geq u_n^2$ donc $u_{n+1}\geq u_n$. La suite $(u...

La probabilité que $Z(Z-1)$ prenne la valeur $k(k-1)$ est égale à la probabilité que $Z$ prenne la valeur $k$.
Donc $E(Z(Z-1))=k(k-1)p_k$

On ne peut pas utiliser les factorielles puisque $r$ est un réel donc les 2 outils pour la démonstration sont les questions 5.(d) et 8.(a). Les changements d'indice que j'ai faits ont pour but en utilisant 8.(a) de pouvoir ensuite utiliser 5.(d). Si on veut calculer directement $E(Z^2)$ la première ...

$E(Z(Z-1))=\sum_{k\geq 1} k(k-1){r+k-1\choose k} (1-p)^kp^r$ En utilisant (a) $E(Z(Z-1))=\sum_{k\geq 1} (k-1)r {r+k-1 \choose k-1} (1-p)^k p^r=rp^r(1-p)\sum_{k\geq 1} (k-1){r+k-1 \choose k-1} (1-p)^{k-1}$ En posant $k-1=k'$, $\sum_{k\geq 1} (k-1){r+k-1 \choose k-1} (1-p)^{k-1}=\sum_{k'\geq 0}k'{r+k'...

$E(Z^2)=E(Z(Z-1))+E(Z)$ donc $V(Z)=E(Z^2)-(E(Z))^2=E(Z(Z-1)+E(Z)-(E(Z))^2$

Pour le calcul de $E(Z(Z-1))$, peut-être que certaines questions précédentes doivent être utilisées ou alors c'est faisable directement. J'essaierai de regarder demain.

Bonjour

S'agit-il d'une variable aléatoire discrète ou continue ?
D'autre part, je présume que c'est dans un problème. Il faudrait que j'en sache davantage pour essayer de répondre.

Bonjour Quand on a une fonction $F$ définie sur un ouvert $U$ de ${\mathbb R}^2$, de classe $C^k$ et $(a,b)\in U$ tel que $F(a,b)=0$ et $\frac{\partial F}{\partial y}\neq 0$ alors dans un voisinage $I\times J \subset U$ de $(a,b)$ il existe une fonction $\varphi$ de classe $C^k$ sur $I$ à valeurs da...

Je ne comprends pas bien l'exercice. J'ai compris qu'à tout $x\in [0,\frac{1}{4}[$ on associe une fonction définie sur ${\mathbb R}/{\frac{1}{4}}$ par $f_x(t)=\frac{x-t}{1-4t}$. Par exemple à $x=\frac{1}{8}$ on associe la fonction $f_{\frac{1}{8}}=\frac{\frac{1}{8} -t}{1-4t}$ Mais pour définir la bo...