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Il y a une petite erreur d'étourderie ci-dessus : il faut lire $d(a,x)\leq \frac r\alpha$ et donc $B_{d'}(a,r)\subset B_d(a,\frac r\alpha)$. Ensuite on termine de la façon suivante : si $\cal O$ est un ouvert pour $d$, alors pour tout $a\in\cal O$ il existe $r_a>0$ tel que $B_d(a,r_a)\subset \cal O$...

Bonjour. Cette formule est un cas particulier de la formule plus générale $S_{p,n}=\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}\binom nkk^p$, où $S_{p,n}$ désigne le nombre de surjections de $\{1,2,\ldots,p\}$ vers $\{1,2,\ldots,n\}$. En effet, lorsque $n=p$, $S_{n,n}$ est aussi le nombre de bijections de $\{1,2,\ldots,n...

Bonjour. Si j'ai bien compris, vous étudiez la suite $x_n=f^{-1}\Bigl(\bigl(\int_0^1f(t)^nd t\bigr)^{1/n}\Bigr)$ (dont il est facile d'établir l'existence). Il est plus facile d'étudier $f(x_n)=\bigl(\int_0^1f(t)^nd t\bigr)^{1/n}$ puis de composer par $f^{-1}$ par continuité. Or $f(x_n)=\|f\|_n$ et ...