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1. Soit $x_0\in E\setminus F$. Puisque $F$ est fermé on a $d(x_0, F)=\delta>0$. Par définition d'une borne inférieure il existe $z_0\in F$ tel que $\delta\leq \|x_0-z_0\|≤2\delta$. On pose $x=\dfrac{1}{2\delta}(x_0-z_0)$. On a $\|x\|\leq 1$ et pour tout $z\in F$, $\|x-z\|=\dfrac1{2\delta}\|x_0-z_0-2...

$\dfrac{(\ln n)^2}{n^{1/\sqrt{\ln n}}}=\exp\bigl(2\ln(\ln n)-\sqrt{\ln n}\bigr)\to0$ par croissances comparées. On en déduit que $\dfrac1{n^{1/\sqrt{\ln n}}}=o\Bigl(\dfrac1{(\ln n)^2}\Bigr)$ et donc que $u_n=o\Bigl(\dfrac1{n(\ln n)^2}\Bigr)$. Or la série $\displaystyle\sum\dfrac1{n(\ln n)^2}$ conver...

Pourrais-tu reformuler la question car plusieurs choses sont incohérentes : la limite z/n ne devrait pas dépendre de n puisque n tend vers +∞, et a priori un terme en n*tan(z) diverge dès lors que tan(z)≠0.

Vous êtes sur qu'on vous demande de les calculer ? Une fois prouvée la convergence, il est facile de montrer que ces deux intégrales sont égales (il suffit de réaliser le changement de variable $t=1/x$ dans la seconde), mais je vois mal ce qu'on pourrait dire de plus dans le cas général.

Il ne s'agit pas de la fonction $\varphi$ mais de la fonction $\Psi$ (fonction Psi, appelée aussi fonction digamma), qui est une fonction qu'on aborde guère avant le second cycle universitaire. Elle est définie par la formule $\Psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$ avec $\Gamma(x)=\int_0^{+∞}t^{x-1}e...

$T_2^+({\mathbb R})$ doit sans doute désigner le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures.

1) Deux cas sont possibles lorsque la suite $(P_n)$ converge vers une limite $\ell$ : — si $\ell\ne0$, alors la série $\sum\ln(1+\alpha_n)$ converge. Dans ce cas, le terme général de cette série tend vers 0 et donc $\lim\alpha_n=0$. Ceci permet d'exploiter l'équivalent $\alpha_n^2\sim2(\alpha_n-\ln(...

Toutes mes excuses, $\alpha_n$ n'est pas positif, j'ai lu trop vite. Du coup mon raisonnement s'effondre, et on a bien besoin de la convergence vers $\ell\ne0$ de la suite $(P_n)$. Il faut partir de l'équivalence : $a_n^2\sim2\bigl(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n)\bigr)$. Ces deux termes sont positifs donc ...

Vos définitions ne sont pas très claires, je ne vois notamment pas ce que vient faire l'entier $n_1$ ici. Ne s'agit-il pas de $n_0$ ? De plus, j'ai l'impression que $q$ désigne plus simplement le plus grand des nombres premiers inférieurs ou égaux à $n_0$ mais auquel cas $F$ ne serait que l'ensemble...

Votre démarche est critiquable car rien n'empêche a priori le terme en $o(\alpha_n^2)$ d'être lui aussi le terme général d'une série divergente, et l'absence de connaissance sur le comportement des sommes partielles vous empêche de conclure quant à la limite de $P_n$. En fait, la réponse est beaucou...