exercice complexes
exercice complexes
Bonsoir,
j'ai un exercice du dm que où je n'arrive pas pourriez vous m'aider s'il vous plait. merci
j'ai un exercice du dm que où je n'arrive pas pourriez vous m'aider s'il vous plait. merci
Re: exercice complexes
Bonsoir
Comment les points $A_n$ sont-ils définis ?
Comment les points $A_n$ sont-ils définis ?
Re: exercice complexes
Bonjour , je vous envoie les données en images.
- Pièces jointes
-
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Re: exercice complexes
$a=\frac{\sqrt 2}{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ donc $z_n=(\frac{\sqrt 2}{2})^n e^{in\frac{\pi}{4}}$ et $z_n$ a pour argument $\frac{\pi}{4}$
a) $(\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_{n+1}})=(\overrightarrow{OA_n} , \overrightarrow u)+(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})=-(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_n}) +(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})\ [2\pi]$
$(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_n})=\arg{z_n}=n\frac{\pi}{4}$ et $(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})=\arg{z_{n+1}}=(n+1)\frac{\pi}{4}$ donc $(\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_{n+1}})=-n\frac{\pi}{4} +(n+1)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$
b) J'ai du mal à lire la question : s'agit-il bien de $(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_nA_{n+1}})$
La question c) dépend de la question b)
d) $\overrightarrow{OA_0}=\overrightarrow u$ donc $(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_n})=\arg(z_n)=n\frac{\pi}{4}$
Les points $O,A_0,A_n$ sont alignés si et seulement si, cet argument est un multiple de $\pi$ donc si et seulement si $n$ est multiple de 4.
a) $(\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_{n+1}})=(\overrightarrow{OA_n} , \overrightarrow u)+(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})=-(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_n}) +(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})\ [2\pi]$
$(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_n})=\arg{z_n}=n\frac{\pi}{4}$ et $(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})=\arg{z_{n+1}}=(n+1)\frac{\pi}{4}$ donc $(\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_{n+1}})=-n\frac{\pi}{4} +(n+1)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$
b) J'ai du mal à lire la question : s'agit-il bien de $(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_nA_{n+1}})$
La question c) dépend de la question b)
d) $\overrightarrow{OA_0}=\overrightarrow u$ donc $(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_n})=\arg(z_n)=n\frac{\pi}{4}$
Les points $O,A_0,A_n$ sont alignés si et seulement si, cet argument est un multiple de $\pi$ donc si et seulement si $n$ est multiple de 4.
Re: exercice complexes
b) J'ai vérifié pour voir si, avec ce que je crois avoir lu, on obtient bien le résultat demandé et ça marche
$(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow u)+(\overrightarrow u,\overrightarrow{A_{n+1}A_n})\ [2\pi]$
Dans un angle orienté, quand on permute l'ordre de vecteurs on obtient l'angle opposé et quand on remplace un des vecteurs par son opposé cela revient à ajouter ou retrancher $\pi$ modulo $2\pi$ donc $ (\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow u)=-[(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}}-\pi] =-\arg(z_{n+1}+\pi =-(n+1)\frac{\pi}{4} +\pi\ [2\pi]$
$(\overrightarrow u,\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=\arg(z_n-z_{n+1})$
$z_n-z_{n+1}=(\frac{\sqrt 2}{2})^n e^{in\frac{\pi}{4}}-(\frac{\sqrt 2}{2})^{n+1}e^{i(n+1)\frac{\pi}{4}}=(\frac{\sqrt 2}{2})^n e^{in\frac{\pi}{4}}(1-\frac{\sqrt 2}{2} e^{i\frac{\pi}{4}})$
$1-\frac{\sqrt 2}{2} e^{i\frac{\pi}{4}}=1-a=\frac{1}{2} -\frac{1}{2} i =\frac{\sqrt 2}{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}$
L'argument d'un produit est égal à la somme des arguments modulo $2\pi$ donc $\arg(z_n-z_{n+1}=n\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4}=(n-1)\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$
On a alors : $(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=-(n+1)\frac{\pi}{4} +\pi +(n-1)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$
c) D'une manière générale, quand on a le point $A_n$, pour obtenir le point suivant $A_{n+1}$, on commence en utilisant la question a) , par construire la demi-droite $[Oz)$ d'origine O, faisant avec $[OA_n)$ un angle de $\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$ sur laquelle va se trouver $OA_{n+1}$.
De la question b) on déduit que les droites $(OA_{n+1})$ et $(A_{n+1}A_n)$ sont perpendiculaires donc le point $A_{n+1}$ est le projeté orthogonal de $A_n$ sur la demi-droite $[Oz)$
$(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow u)+(\overrightarrow u,\overrightarrow{A_{n+1}A_n})\ [2\pi]$
Dans un angle orienté, quand on permute l'ordre de vecteurs on obtient l'angle opposé et quand on remplace un des vecteurs par son opposé cela revient à ajouter ou retrancher $\pi$ modulo $2\pi$ donc $ (\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow u)=-[(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}}-\pi] =-\arg(z_{n+1}+\pi =-(n+1)\frac{\pi}{4} +\pi\ [2\pi]$
$(\overrightarrow u,\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=\arg(z_n-z_{n+1})$
$z_n-z_{n+1}=(\frac{\sqrt 2}{2})^n e^{in\frac{\pi}{4}}-(\frac{\sqrt 2}{2})^{n+1}e^{i(n+1)\frac{\pi}{4}}=(\frac{\sqrt 2}{2})^n e^{in\frac{\pi}{4}}(1-\frac{\sqrt 2}{2} e^{i\frac{\pi}{4}})$
$1-\frac{\sqrt 2}{2} e^{i\frac{\pi}{4}}=1-a=\frac{1}{2} -\frac{1}{2} i =\frac{\sqrt 2}{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}$
L'argument d'un produit est égal à la somme des arguments modulo $2\pi$ donc $\arg(z_n-z_{n+1}=n\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4}=(n-1)\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$
On a alors : $(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=-(n+1)\frac{\pi}{4} +\pi +(n-1)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$
c) D'une manière générale, quand on a le point $A_n$, pour obtenir le point suivant $A_{n+1}$, on commence en utilisant la question a) , par construire la demi-droite $[Oz)$ d'origine O, faisant avec $[OA_n)$ un angle de $\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$ sur laquelle va se trouver $OA_{n+1}$.
De la question b) on déduit que les droites $(OA_{n+1})$ et $(A_{n+1}A_n)$ sont perpendiculaires donc le point $A_{n+1}$ est le projeté orthogonal de $A_n$ sur la demi-droite $[Oz)$
Re: exercice complexes
Bonsoir,
merci beaucoup de votre aide j'ai enfin compris, mais j'aimerai savoir est-ce que mais réponde au question précedente sont correcte,s'il vous plait.
2)a) rn=AkAk+1
b)r0=z1-z0=1/2+1/2i-1=-1/2+1/2i
c)Zn+1-Zn=a^n+1-a^n
=a(a^n-a^n-1)=a( Zn-Zn-1)
d)rn=|Zn+1-Zn|=|a(Zn-Zn-1|=|a|x|Zn-Zn1|
rn=|a|x|Zn-Zn-1|
rn=|1/2 +1/2i|x|Zn-Zn-1|
rn=racine2/2 x rn-1
3) rn est une suite géometrique de raison |a|=V2/2
et de premier terme r0=V2/2^n+1
Ln= r0*V2/2^n+1-1/V2/2-1
limite n tend vers +infini=0
merci beaucoup de votre aide j'ai enfin compris, mais j'aimerai savoir est-ce que mais réponde au question précedente sont correcte,s'il vous plait.
2)a) rn=AkAk+1
b)r0=z1-z0=1/2+1/2i-1=-1/2+1/2i
c)Zn+1-Zn=a^n+1-a^n
=a(a^n-a^n-1)=a( Zn-Zn-1)
d)rn=|Zn+1-Zn|=|a(Zn-Zn-1|=|a|x|Zn-Zn1|
rn=|a|x|Zn-Zn-1|
rn=|1/2 +1/2i|x|Zn-Zn-1|
rn=racine2/2 x rn-1
3) rn est une suite géometrique de raison |a|=V2/2
et de premier terme r0=V2/2^n+1
Ln= r0*V2/2^n+1-1/V2/2-1
limite n tend vers +infini=0
- Pièces jointes
-
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Re: exercice complexes
a) $r_n=A_nA_{n+1}$
b) Ce sont des modules qu'il faut calculer.
$r_0=|z_1-z_0| =|-\frac{1}{2} +\frac{1}{2} i|=\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt 2}{2}$
De même $r_2$ et $r_3$ sont des modules.
c) et d) : d'accord.
Le premier terme de la suite est $r_0=\frac{\sqrt 2}{2}$
Je ne sais pas ce qu'est $L_n$
b) Ce sont des modules qu'il faut calculer.
$r_0=|z_1-z_0| =|-\frac{1}{2} +\frac{1}{2} i|=\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt 2}{2}$
De même $r_2$ et $r_3$ sont des modules.
c) et d) : d'accord.
Le premier terme de la suite est $r_0=\frac{\sqrt 2}{2}$
Je ne sais pas ce qu'est $L_n$
Re: exercice complexes
Bonsoir, en effet mais je n'arriver pas a ecrire les barres pour dire que c'est le module,
donc pour r2=|z2-z1|=|1/2-1/2+1/2|=V(1/2)=V1/4
r3=|z3-z1|=|-1/4+1/4-V2/2|=V(V2/2)²=2/4=1/2
Ln c'est pour la limite à la question 3 si je me suis pas tromper?
donc pour r2=|z2-z1|=|1/2-1/2+1/2|=V(1/2)=V1/4
r3=|z3-z1|=|-1/4+1/4-V2/2|=V(V2/2)²=2/4=1/2
Ln c'est pour la limite à la question 3 si je me suis pas tromper?
Re: exercice complexes
$r_2=|z_2-z_1|=|a^2-a|=|a(a-1)|=|a|\cdot|a-1|=\frac{\sqrt 2}{2}\times \frac{\sqrt 2}{2}|=\frac{1}{2}$
$r_3=|z_3-z_2|=|a^3-a^2|=|a^2(a-1)|=|a|^2\cdot |a-1|=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{4}$
La raison de la suite géométrique est comprise entre 0 et 1 donc $\lim L_n=r_0\times \frac{1}{1-\frac{\sqrt 2}{2}}=\frac{\sqrt 2}{2-\sqrt 2}$
$r_3=|z_3-z_2|=|a^3-a^2|=|a^2(a-1)|=|a|^2\cdot |a-1|=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{4}$
La raison de la suite géométrique est comprise entre 0 et 1 donc $\lim L_n=r_0\times \frac{1}{1-\frac{\sqrt 2}{2}}=\frac{\sqrt 2}{2-\sqrt 2}$