Bonjour à tous!
Je n'arrive plus à calculer la somme suivante: sommne de k=n+1 à 2n de 1/2k ....
Quelle est la méthode?
Calcul d'une somme
Re: Calcul d'une somme
Bonjour
Si ce que tu veux calculer est bien $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2k}$, il y a un problème.
$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2k}=\frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k})$
On est donc en présence de la série harmonique mais il n'y a pas de formule générique pour donner la somme de la série harmonique au rang $n$.
Si ce que tu veux calculer est bien $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2k}$, il y a un problème.
$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2k}=\frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k})$
On est donc en présence de la série harmonique mais il n'y a pas de formule générique pour donner la somme de la série harmonique au rang $n$.
Re: Calcul d'une somme
En effet, je suis étourdi: le terme à sommer est 1/(2n).... il ne dépend pas de k, donc la somme devient triviale....
Par contre pour la 1ère somme, wolframalpha donne un résultat avec des fonctions phi??? c'est quoi ces fonctions?
Par contre pour la 1ère somme, wolframalpha donne un résultat avec des fonctions phi??? c'est quoi ces fonctions?
Re: Calcul d'une somme
Je ne sais pas si c'est de cela qu'il s'agit, pour moi la fonction $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler c'est-à-dire la fonction, qui à tout entier naturel $n$ fait correspondre le nombre d'entiers naturels compris entre 1 et $n$ et qui sont premiers avec $n$.
Re: Calcul d'une somme
Il ne s'agit pas de la fonction $\varphi$ mais de la fonction $\Psi$ (fonction Psi, appelée aussi fonction digamma), qui est une fonction qu'on aborde guère avant le second cycle universitaire.
Elle est définie par la formule $\Psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$ avec $\Gamma(x)=\int_0^{+∞}t^{x-1}e^{-t}d t$.
Une intégration par parties permet de prouver la relation : $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$. En dérivant cette égalité on obtient $\Gamma'(x+1)=\Gamma(x)+x\Gamma'(x)$ donc $\frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=\frac1x+\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$. Autrement dit, la fonction $\Psi$ vérifie la relation $\Psi(x+1)=\frac1x+\Psi(x)$.
Ceci explique le lien qui existe avec la série harmonique : $\frac1k=\Psi(k+1)-\Psi(k)$ donc par télescopage, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k=\Psi(2n+1)-\Psi(n)$-
De même, $\sum_{k=1}^n\frac1k=\Psi(n+1)-\Psi(1)$, et il est possible de prouver (bien que cela ne soit pas élémentaire) que $\Psi(1)=-\gamma$, la constante d'Euler. Autrement dit, $\sum_{k=1}^n\frac1k=\Psi(n+1)+\gamma$.
Elle est définie par la formule $\Psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$ avec $\Gamma(x)=\int_0^{+∞}t^{x-1}e^{-t}d t$.
Une intégration par parties permet de prouver la relation : $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$. En dérivant cette égalité on obtient $\Gamma'(x+1)=\Gamma(x)+x\Gamma'(x)$ donc $\frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=\frac1x+\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$. Autrement dit, la fonction $\Psi$ vérifie la relation $\Psi(x+1)=\frac1x+\Psi(x)$.
Ceci explique le lien qui existe avec la série harmonique : $\frac1k=\Psi(k+1)-\Psi(k)$ donc par télescopage, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k=\Psi(2n+1)-\Psi(n)$-
De même, $\sum_{k=1}^n\frac1k=\Psi(n+1)-\Psi(1)$, et il est possible de prouver (bien que cela ne soit pas élémentaire) que $\Psi(1)=-\gamma$, la constante d'Euler. Autrement dit, $\sum_{k=1}^n\frac1k=\Psi(n+1)+\gamma$.
Re: Calcul d'une somme
Je reçois un notification ce samedi 03/08/2019 ???
merci tout de même pour vos interventions....
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