Bonjour,
Proposition: L’ensemble L(U,V) des applications linéaires de U vers V forme un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de U vers V.
Voici la démonstration que j’ai rédigé :
.Une application linéaire de U vers V est une application de U vers V donc L(U,V) est inclus dans V^U
.Soient f,g appartenant à L(U,V)
Pour tout u appartenant à U, f(u)=0 où f est l’application constante vecteur nul de V donc L(U,V) est non vide.
Pour tout u,v appartenant à U, a appartenant à K
f( u+ v)= f(u) + f(v) car f appartient à L(U,V)
g( u+ v)= g(u) + g(v) car g appartient à L(U,V)
et f(u+ v)+ g( u+ v)= f(u) + f(v) + g(u) + g(v) donc f+g appartient à L(U,V)
a.f( u) = f(a .u) donc a.f appartient à L(U,V)
est-ce que, s’il vous plait, la démonstration est correcte ?
Je vous remercie par avance pour votre aide.
sous-espace vectoriel
Re: sous-espace vectoriel
Bonsoir
Il faut revoir la démonstration de la seconde propriété
Soit $f$ et $g$ 2 applications linéaires. Il s'agit de montrer que $f+g$ est linéaire.
$(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0$
$(f+g)(u+v)=f(u+v)+g(u+v)=f(u)+f(v)+g(u)+g(v)$ (car $f$ et $g$ sont linéaires.)
$=(f+g)(u)+(f+g)(v)$
$(f+g)(a\cdot u)=f(a\cdot u) +g(a\cdot u)=af(u) +ag(u)$ (car $f$ et $g$ sont linéaires)
$=a(f(u)+g(u))=a(f+g)(u)$
Il faut revoir la démonstration de la seconde propriété
Soit $f$ et $g$ 2 applications linéaires. Il s'agit de montrer que $f+g$ est linéaire.
$(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0$
$(f+g)(u+v)=f(u+v)+g(u+v)=f(u)+f(v)+g(u)+g(v)$ (car $f$ et $g$ sont linéaires.)
$=(f+g)(u)+(f+g)(v)$
$(f+g)(a\cdot u)=f(a\cdot u) +g(a\cdot u)=af(u) +ag(u)$ (car $f$ et $g$ sont linéaires)
$=a(f(u)+g(u))=a(f+g)(u)$
Re: sous-espace vectoriel
Encore merci pour votre aide.