Matrice Gaussienne 2

[Jean37]

Bonjour job,excuse moi de te déranger,mais pourrais tu m'aider pour le III et le IV s'il te plait?

[Job]

Bonjour Jean

Execice III

(a) $\left(\begin{matrix}P(Y)&(X-a)P'(Y)\\(Y-b)P'(X)&P(X)\end{matrix}\right)$

(b) Si $(X,Y)=(a,b)$ alors la matrice jacobienne $J$ est égale à $\left(\begin{matrix}P(b)&0\\0&P(a)\end{matrix}\right)$
$J-\lambda Id=\left(\begin{matrix}P(b)-\lambda&0\\0&P(a)-\lambda\end{matrix}\right)$

Le déterminant est égal à $(P(b)-\lambda)(P(a)-\lambda)$
Il est nul pour $\lambda=P(a)$ et $\lambda =P(b)$

$\left(\begin{matrix}P(b)&0\\0&P(a)\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}P(b)X\\P(a)Y\end{matrix}\right)$

(c) ?

[Job]

Exercice IV

(1) $\frac{\partial \phi}{\partial X}( U_0)=-\sin (X_0-Y_0^2)$ et $\frac{\partial \phi}{\partial Y}(U_0)=-2Y_0(-\sin(X_0-Y_0^2))=2Y_0\sin (X_0-Y_0^2)$

(2) $\frac{\partial^2 \phi}{\partial X^2}(U_0)=\cos (X_0-Y_0^2)$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial Y^2}(U_0)=2\sin (X_0-Y_0^2)+2Y_0(-2Y_0\cos (X_0-Y_0^2)=2\sin (X_0-Y_0^2)-4Y_0^2\cos (X_0-Y_0^2)$

$\frac{\partial^2\phi}{\partial X\partial Y}(U_0)=-2Y_0(-\cos (X_0-Y_0^2))=2Y_0\cos (X_0-Y_0^2)$

$H=\left(\begin{matrix}\cos (X_0-Y_0^2)&2Y_0\cos (X_0-Y_0^2)\\2Y_0\cos (X_0-Y_0^2)&2\sin (X_0-Y_0^2)-4Y_0^2\cos (X_0-Y_0^2)\end{matrix}\right)$

(3) $\phi(X_0+h,Y_0+k)-\phi(X_0,Y_0)=\frac{1}{2}[h^2\cos (X_0-Y_0^2)+2hk(2Y_0\cos (X_0-Y_0^2))+k^2(2\sin (X_0-Y_0^2)-4Y_0^2\cos (X_0-Y_0^2))]+\epsilon (h^2,k^2)$

Je ne sais pas si j'ai utilisé les mêmes notations que dans ton cours.

[Jean37]

Pour le (c) je ne sais pas ce qu'ils entendent par "attractif" mais merci pour ton aide en tout cas.
C'est un devoir du même type que j'aurai,comme les exo 3 et 4