Bonjour!
Je dois calculer l'intégrale : intégrer de U à alpha de dx/sqrt((alpha-x)*(x-U)) ...
Le résultat doit être pi , mais je galère pour trouver la bonne technique d'intégration!
Merci d'avance pour votre aide!
Intégrale définie
Re: Intégrale définie
Bonjour
$(\alpha -x)(x-u)=-x^2 +(u+\alpha )x -\alpha u$ a pour discriminant $(\alpha -u)^2$
On fait le changement de variable : $t\in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[,\ x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\sin t$ soit $x-\frac{u+\alpha}{2}=\frac{u-\alpha }{2}\sin t$
$x=\frac{u+\alpha}{2} +\frac{u-\alpha}{2} \sin t$
$dx =\frac{u-\alpha}{2} \cos t dt$
$(\alpha -x)(x-u)=(\frac{\alpha -u}{2})(1+\sin t)(\frac{\alpha -u}{2})(1-\sin t)= (\frac{\alpha-u}{2})^2\cos^2t$
Pour $x=\alpha,\ \sin t =-1$ et pour $x=u,\ \sin t =1$
$I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{u-\alpha}{2} \cos t\ dt}{\frac{\alpha-u}{2} \cos t}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} -dt=\pi$
$(\alpha -x)(x-u)=-x^2 +(u+\alpha )x -\alpha u$ a pour discriminant $(\alpha -u)^2$
On fait le changement de variable : $t\in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[,\ x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\sin t$ soit $x-\frac{u+\alpha}{2}=\frac{u-\alpha }{2}\sin t$
$x=\frac{u+\alpha}{2} +\frac{u-\alpha}{2} \sin t$
$dx =\frac{u-\alpha}{2} \cos t dt$
$(\alpha -x)(x-u)=(\frac{\alpha -u}{2})(1+\sin t)(\frac{\alpha -u}{2})(1-\sin t)= (\frac{\alpha-u}{2})^2\cos^2t$
Pour $x=\alpha,\ \sin t =-1$ et pour $x=u,\ \sin t =1$
$I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{u-\alpha}{2} \cos t\ dt}{\frac{\alpha-u}{2} \cos t}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} -dt=\pi$
Re: Intégrale définie
Super, merci!