Simplification

[lesolitaire]

Bonjour;
Comment passe-t- on de

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (cos(x))dx\\

I=\frac{I+I}{2}\\
à
=\frac{1}{2}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\ln (sin(x)+\ln (cos(x)})dx
}$

; on perçoit bien qu'il y a une puissance au carré de $\ln \cos(x)$ mais après

[lesolitaire]

Bonjour;
Comment passe-t- on de

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (cos(x))dx\\

I=\frac{I+I}{2}\\
à
=\frac{1}{2}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\ln (sin(x)+\ln (cos(x)})dx
}$

; on perçoit bien qu'il y a une puissance au carré de $\ln \cos(x)$ mais après

Finalement dans l' intervalle considérée l'égalité est normale ainsi que l'écriture par rapport à ln

[Job]

Bonjour

En faisant le changement de variable : $x=\frac{\pi}{2}-t$, on a :
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\cos x) dx =\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \ln (\cos (\frac{\pi}{2}-t))(-dt))=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 (-\ln (\sin t))dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt$

[lesolitaire]

Bonjour;

Je suis d'accord pour la réponse, c'est une façon de faire, mais c'est le passage de la dernière ligne de ma question qui me pose problème, c'est texto ce qui apparait dans la solution sans changement de variable. Pourquoi poser $I = \frac{{I + I}}{2}$
et tout de suite le développement en ln


Merci

[Job]

Bonjour

On a donc $I=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\ln (\sin x)+\ln (\cos x))dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin x \cos x) dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2} \sin (2x)) dx$

$I=\frac{1}{2}[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (2x)) dx -\frac{\pi}{2} \ln 2]=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (2x)) dx -\frac{\pi}{4}\ln 2$

On fait le changement de variable : $t=2x$

$I=\frac{1}{2}\int _0^{\pi}\frac{1}{2}\ln (\sin t) dt -\frac{\pi}{4}\ln 2=\frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt +\frac{1}{4}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln (\sin t) dt -\frac{\pi}{4}\ln 2$

Avec le changement de variable $u=t-\frac{\pi}{2}$ :
$\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \ln (\sin t)dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (\frac{\pi}{2}-u)) du=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos u) du=I$

Ce qui donne finalement : $I=\frac{1}{4} I +\frac{1}{4} I-\frac{\pi}{4}\ln 2$ donc $I=-\frac{\pi}{2} \ln 2$