Bonjour;
Comment passe-t- on de
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (cos(x))dx\\
I=\frac{I+I}{2}\\
à
=\frac{1}{2}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\ln (sin(x)+\ln (cos(x)})dx
}$
; on perçoit bien qu'il y a une puissance au carré de $\ln \cos(x)$ mais après
Simplification
-
- Membre
- Messages : 35
- Inscription : 25 mars 2015, 06:29
Re: Simplification
Finalement dans l' intervalle considérée l'égalité est normale ainsi que l'écriture par rapport à lnlesolitaire a écrit :Bonjour;
Comment passe-t- on de
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (cos(x))dx\\
I=\frac{I+I}{2}\\
à
=\frac{1}{2}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\ln (sin(x)+\ln (cos(x)})dx
}$
; on perçoit bien qu'il y a une puissance au carré de $\ln \cos(x)$ mais après
Re: Simplification
Bonjour
En faisant le changement de variable : $x=\frac{\pi}{2}-t$, on a :
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\cos x) dx =\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \ln (\cos (\frac{\pi}{2}-t))(-dt))=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 (-\ln (\sin t))dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt$
En faisant le changement de variable : $x=\frac{\pi}{2}-t$, on a :
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\cos x) dx =\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \ln (\cos (\frac{\pi}{2}-t))(-dt))=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 (-\ln (\sin t))dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt$
-
- Membre
- Messages : 35
- Inscription : 25 mars 2015, 06:29
Re: Simplification
Bonjour;
Je suis d'accord pour la réponse, c'est une façon de faire, mais c'est le passage de la dernière ligne de ma question qui me pose problème, c'est texto ce qui apparait dans la solution sans changement de variable. Pourquoi poser $I = \frac{{I + I}}{2}$
et tout de suite le développement en ln
Merci
Je suis d'accord pour la réponse, c'est une façon de faire, mais c'est le passage de la dernière ligne de ma question qui me pose problème, c'est texto ce qui apparait dans la solution sans changement de variable. Pourquoi poser $I = \frac{{I + I}}{2}$
et tout de suite le développement en ln
Merci
Re: Simplification
Bonjour
On a donc $I=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\ln (\sin x)+\ln (\cos x))dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin x \cos x) dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2} \sin (2x)) dx$
$I=\frac{1}{2}[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (2x)) dx -\frac{\pi}{2} \ln 2]=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (2x)) dx -\frac{\pi}{4}\ln 2$
On fait le changement de variable : $t=2x$
$I=\frac{1}{2}\int _0^{\pi}\frac{1}{2}\ln (\sin t) dt -\frac{\pi}{4}\ln 2=\frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt +\frac{1}{4}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln (\sin t) dt -\frac{\pi}{4}\ln 2$
Avec le changement de variable $u=t-\frac{\pi}{2}$ :
$\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \ln (\sin t)dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (\frac{\pi}{2}-u)) du=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos u) du=I$
Ce qui donne finalement : $I=\frac{1}{4} I +\frac{1}{4} I-\frac{\pi}{4}\ln 2$ donc $I=-\frac{\pi}{2} \ln 2$
On a donc $I=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\ln (\sin x)+\ln (\cos x))dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin x \cos x) dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2} \sin (2x)) dx$
$I=\frac{1}{2}[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (2x)) dx -\frac{\pi}{2} \ln 2]=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (2x)) dx -\frac{\pi}{4}\ln 2$
On fait le changement de variable : $t=2x$
$I=\frac{1}{2}\int _0^{\pi}\frac{1}{2}\ln (\sin t) dt -\frac{\pi}{4}\ln 2=\frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt +\frac{1}{4}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln (\sin t) dt -\frac{\pi}{4}\ln 2$
Avec le changement de variable $u=t-\frac{\pi}{2}$ :
$\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \ln (\sin t)dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (\frac{\pi}{2}-u)) du=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos u) du=I$
Ce qui donne finalement : $I=\frac{1}{4} I +\frac{1}{4} I-\frac{\pi}{4}\ln 2$ donc $I=-\frac{\pi}{2} \ln 2$